joi, 28 iunie 2012

Parti de Vorbire



SUBSTANTIVUL
Partea de vorbire flexibila, care denumeste fiinte, lucruri, fenomene ale naturii, actiuni, stari etc.
1. Felul substantivelor
A.      Dupa inteles (natura denumirii): -compuse (masa, scolar, prieten)
-proprii (Maria, Venus, Arad)
B.      Dupa alcatuire (forma): -simple (casa, Iasi, om) 21864rfu56jrc1j
-compuse (prin contopire: untdelemn)
(prin alaturare: zi-lumina)
%Atentie! 1.Substantivele simple pot fi primare (carte, perna etc.)sau derivate cu sufixe (bunatate, geamgiu, indoiala etc.)
2.Substantivele compuse sunt formate din doua sau mai multe cuvinte cu sens unitar fr864r1256jrrc
3.Se scriu cu cratima substantivele compuse dintr-un substantiv in N si unul in G (floarea-soarelui) din doua substantive legate prin prepozitie (cal-de-mare), dintr-un substantiv si un adjectiv (argint-viu), dintr-un substantiv si un verb (gura-casca)
4.Se scriu intr-un cuvant substantivele compuse in care componentele nu-si mai pastreaza individualitatea morfologica (bunavointa) G-D (bunavointei, nu bunei vointe)
5.Substantivele proprii de scriu cu majuscula, indiferent de locul pe care il ocupa in propozitie sau fraza.

2.Genul substantivelor
In limba romana substantivul are trei genuri: masculin, feminin, neutru
a.       Genul masculin pentru fiinte de sex barbatesc sau lucruri care, prin obisnuinta sunt socotite masculine(om, cal, pom)
b.       Genul feminin pentru fiinte de sex femeiesc sau lucruri considerate, prin traditie, feminine (pisica, floare, carte)
c.        Genul neutru, in general, nume de lucruri (cer, stilou, nume)

¬Substantive epicene- acele nume de animale, pasari sau insecte care au o singura forma pentru masculin si feminin (gandac, tantar, fluture, elefant etc.)
¬Substantive mobile- nume de fiinte care au o forma pentru masculin (copil, profesor) si alta pentru feminin (copila, profesoara)
¬Motiunea- procesul cu ajutorul caruia se formeaza substantivele feminine din cele masculine si/sau invers (elev/eleva, rata/ratoi etc.). Cele mai frecvente sufixe motionale sunt: feminine (-a, -ita, -easca, -ca, -oaica, -toare), masculine (-oi,
-an)

  1. Ce să mai citim?

  2. Povestea Lustragiului

  3. Noile vaccinuri  

  4. Nanotehnologia în evoluție

  5. Primarul care nu frură

  6. Duda a pus mâna pe Casa Regală

  7. Nu poti multiplica bogatia divizand-o !  

Calculul pensiei militare  PENSII MILITARE DE STAT

3. Numarul substantivelor
Substantivele din limba romana prezinta forme de singular (elev, scoala) si de plural (elevi, scoli)
Masculin Feminin Neutru
Singular Plural Singular Plural Singular Plural
Æ/pom i/pomi a/clasa e/clase Æ/parc -uri/parcuri
u, u/codru, leu i, i codri,lei a/banca i/banci Æ/orase e/orase
e/munte i/munti e/parte i/parti u, u/lucru, tablou -uri/lucruri, tablouri
a/tata i/tati Æ/manta le/mantale u, u/cadru, curcubeu e/cadre, curcubeie
a/marfa -uri/marfuri u/studiu i/studii
e/vreme -uri/vremuri
Æ- desinenta zero
·         Alternante vocalice la radicalul substantivului in trecerea de la singular la plural: a/a (rana/rani) a/e (masa/mese) a/e (bat/bete) a/i (cuvant/cuvinte) o/oa ( covor/covoare) oa/o (comoara/comori)
·         Alternante consonantice: d/z (lada/lazi) t/t (baiat,baieti) s/s (urs/ursi) g/g (dunga/dungi) c/c (fiica/fiice) l/Æ (cal/cai) str/str ( astru/astri)
·         Substantive defective de numar:
-cu forme numai la singular (nume de materii,insusiri,stari sau ape,munti,persoane,locuri) comune (grau,var) si proprii (Siret Traian)
-cu aceeasi forma si la sigular si la plural (pui, tei, unchi, invatatoare, nume)
-cu forme numai la plural (unele nume de materii, nume de locuri, munti) comune (icre, calti) proprii (Iasi, Balcani)
·         Substantive cu forme multiple de singular (oapete/oaspe; pantece/pantec) sau de plural cu acelasi inteles (boli/boale; coli/coale) cu inteles diferit (coarne/corni/cornuri)
·         Substantive colective (a caror forma de singular are inteles de plural):
-substantive simple(primare): hoarda, herghelie, stol, turma, trib etc.
-substantive derivate: alunis, frunzis, taranime, stejaris etc.
%Atentie! Forma de plural a unor nume de materie (alamuri, dulceturi, matasuri etc) defective, in mod normal, de acest numar, are sensul; unui plural colectiv, indicand soiuri, sortimente sau bucati din materia respectiva
Declinarea substantivului
Declinarea substantivelor nearticulate sau articulate nehotarat



Declinarea substantivelor articulate hotarat
Declinarea substantivelor proprii (nume de persoane)
Declinarea substantivelor proprii nume geografice compuse
a)doua substantive in acelasi caz: N-Ac Targu-Jiu; G-D Targu-Jiului
b)doua substantive, al doilea in genitiv: N-Ac Vatra Dornei; G-D Vetrei Dornei
c)doua propozitii legate prin prepozitie: N-Ac Curtea de Arges; G-D Curtii de Arges
d)un substantiv si un adjectiv: N-Ac Valea Lunga;G-D Vaii Lungi
4.Cazurile substantivului
Nominativ (cine? ce?)
-subiect:Lui i se cuvine aceasta cinste.
-nume predicativ (intotdeauna in relatie cu un verb copulativ):Radu este un copil bun.
-apozitie(atribut apozitional):Raul Mures a iesit din matca.
Obs.Exemplele se pot construi usor daca se folosesc adverbele : adica, anume, chiar, tocmai.
Mihai [adica] nepotul meu a implinit un an.
Acuzativ
-atribut substantival prepozitional (care? ce fel de?) Apa de la munte este rece (care apa?)
Obs.Nu face greseala sa pui intrebarea: de unde?
-nume predicativ(urmeaza dupa un verb copulativ,iar substantivul e insotit de prepozitie)Florile sunt pentru mama
-complement direct (pe cine? ce?) Il intreb pe Mihai..
-complement indirect (prepozitii+ cine? ce?)Vorbim despre cazuri.
-complement de agent (de cine? de catre cine?)Intrebarea a fost pusa de Alina.
Obs.Urmeaza dupa un verb la diateza pasiva sau dupa un participiu
-complement circumstantial de loc (unde? cu sau fara prepozitii,incotro?)Vine de la padure.
-complement circumstantial de timp(cand? cu sau fara prepozitii,cat timp?)A lipsit de acasa o saptamana.
-complement circumstantial de mod(cum? cat?)Copii vin in grupuri.Alearga ca vantul.(complement circumstantial comparativ)
-complement circumstantial de cauza:Codrul clocoti de zgomot
-complement circumstantial de scop:A plecat in oras pentru cumparaturi.
Genitiv
-atribut substantival genitival(al,a,ai,ale cui?)Interventia colegei a fost salutara.
-nume predicativ(urmeaza dupa un verb copulativ si este insotit de articol genitival:al,a,ai,ale)Pamantul este al taranilor.
Obs.Substantivele in genitiv pot indeplini si alte functii sintactice saca sunt precedate de prepozitii sau locuri prepozitionale, forma articulata: asupra,contra,impotriva,inapoia,deasupra, dedesubtul,in susul, in josul,in fundul,din cauza etc.
-complement indirect:Toti s-au ridicat contra propunerii lui.
-complement circumstantial de loc:Vizitatorii se uitau in fundul pesterii
-complement circumstantial de timp:A ajuns la gara inaintea sosirii trenului
-complement circumstantial de cauza:A intarziat din cauza vremii.
-atribut substantial prepozitional:Gradina din fata casei era inundata de verdeata
Dativ
-complement indirect (cui?)Padurii ii lipseste cantecul pasarilor.
Obs.Substantivele in dativ pot indeplini si alte functii sintactice,daca sunt precedate de prepozitiile:gratie,datorita,multumita,potrivit, conform,contrar,aidoma,asemenea
-complement circumstantial de loc(dativ locativ):Stai locului copile!
-complement circumstantial de mod:A raspuns conform asteptarilor noastre
-nume predicativ:El este aidoma fratelui tau.
-atribut substantival prepozitional(care?)Interventia conform planului a condus la reusita
-atribut substantival (cui?)Preot desteptarii noastre/ Oferirea de premii olimpicilor a fost televizata (de obicei dupa infinitivul lung)
-complement indirect cu prepozitie:Am reusit datorita Ioanei
-complement circumstantial de cauza:A intarziat datorita ploii
Vocativ
-nu are functie sintactica; se desparte prin virgula de restul cuvintelor, indiferent de locul pe care-l ocupa in propozitie: Ioana,vino afara!
VERBUL
Partea de vorbire flexibila in raport cu modul, timpul, persoana si numarul, care exprima actiuni, stari sau
calitati privite ca procese in derulare
1.Clasificarile verbului
a)dupa rolul sintactic si morfologic:
-predicative: indeplinesc singure, la un mod personal, functia de predicat verbal (a citi, a merge, a vedea etc)
-copulative: leaga numele predicativ de subiect si indeplinesc la un mod personal, impreuna cu numele predicativ, rolul de predicat nominal (a fi, a deveni, a se face)
-auxiliare: ajuta la formarea modurilor si timpurilor compuse, precum si a diatezei pasive (a fi, a vrea, a avea)
b)dupa posibilitatea de a avea complement direct:
-tranzitive: care pot avea complement direct (a face, a iubi etc)
-intranzitive: care nu pot avea complement direct (a alerga, a fi, a merge etc.)
c)dupa referirea la persoana:
-personale: au forma pentru toate persoanele (a cauta, a citi etc.)
-impersonale: nu au subiect si, deobicei, au numai forma de persoana a III-a(a ploua, a ninge, a se zice etc.)
-unipersonale: de folosesc numai la persoana a III-a (a latra, a macai, a oua etc.) a trebui este unipersonal ca forma si impersonal prin continut.
2.Locutiunile verbale
Grupuri de cuvinte, care contin in mod obligatoriu un verb, cu sens unitar si cu trasaturi morfologice si sintactice
specifice verbului
Structura locutiunilor verbale:
-verb+prepozitie+substantiv:a avea de gand
-verb+interjectie:a face tusti
-verb+substantiv:paziti-va gura(pronume intre verb si substantiv)
-verb+......etc.:a o lua la sanatoasa, a-si aduce aminte
·         cele mai frecvente verbe intalnite in locutiunile verbale:a face, a da, a lua, a avea, a pune, a trage, a baga
%Atentie! O locutiune verbala se recunoaste daca:
-se poate substitui printr-un singur cuvant (a o lua la fuga=a fugi)
-intelesul unitar este altul decat sensul fiecareia dintre componente;
-exista un cuvant care, luat izolat, nu are inteles clar (a-si aduce aminte;aminte=?)
3.Diateza verbului
Categorie gramaticala specifica verbului care exprima raportul dintre subiect, verb si obiect: diatezele activa, pasiva si reflexiva 
Diateza activa: arata ca subiectul face actiunea exprimata de verb, fara a suferi consecintele acesteia; se formeaza din tema verbului de conjugat la care se adauga terminatiile modurilor si timpurilor respective;
Diateza pasiva: arata ca subiectul sufera actiunea facuta de complementul de agent (exprimat sau subinteles) ; se formeaza din participiul verbului de conjugat precedat de diateza activa a verbului auxiliar a fi; diateza pasiva au doar verbele care la diateza activa sunt tranzitive;
Diateza reflexiva: arata ca subiectul face actiunea si tot el o sufera; se formeaza din diateza activa a verbului de conjugat precedat de pronumele reflexiv in dativ sau acuzativ cu rol de marca morfologica.

4.Modurile verbului
Categoria gramaticala verbala care indica forma pe care o ia verbul pentru a arata felul cum considera vorbitorul actiunea

Modurile:-personal: daca are forme distincte pentru exprimarea persoanei;
-nepersonal: daca prezinta actiunea fara referire la persoana care o savarseste;
-predicativ: daca verbul poate indeplini functia de predicat;
-nepredicativ: daca verbul nu poate indeplini functia de predicat;

Moduri personale, predicative:
-indicativ: exprima o actiune prezentata de vorbitor ca reala,sigura (eu lucrez, tac, culeg, fug);
-conjunctiv: exprima o actiune realizabila, posibila in prezent,ireala in trecut (eu sa lucrez, sa tac, sa culeg, sa fug; eu sa fi lucrat, sa fi tacut, sa fi cules, sa fi fugit);
-conditional-optativ: exprima o actiune realizabila in functie de o conditie (eu as lucra, as tacea, as culege, as fugi);
-imperativ: exprima un ordin, un indemn, un sfat, o rugaminte (lucreaza! taci! culege! fugi!);

Modurile nepersonale, nepredicative:
-infinitiv: exprima actiunea in mod general, denumeste numele actiunii (a citi, a lucra etc.);
-gerunziu: exprima o actiune in desfasurare, fara referire precisa la momentul vorbirii (citind, lucrand etc.);
-participiu: denumeste sub forma de adjectiv actiunea suferita de un obiect(citit, vazut, citit etc.);
-supin: forma verbala omonima cu participiul, avand in plus prepozitiile de, la, pentru si sinonima cu infinitivul (de mancat, pentru citit, la cules etc.);

5.Timpurile verbale
Categorie gramaticala verbala care exprima momentul sau durata savarsirii actiunii
Timpurile indicativului
-prezent: actiune simultana cu momentul vorbirii (lucrez, tac, culeg, fug);
-imperfect: actiune trecuta, nedeterminata in momentul la care se refera vorbirea (lucram, taceam, culegeam, fugeam);
-perfecul simplu: actiune trecuta, incheiata in trecut (lucrai, tacui, culesei ,fugii);
-perfectul compus: actiune trecuta, terminata, fara a preciza momentul incheierii fata de prezent (am lucrat, am tacut, am cules, am fugit);
-mai mult ca perfectul: actiune trecuta, incheiata inaintea altei actiuni trecute (lucrasem, tacusem, culesesem, fugisem);
-viitorul: actiune ce se petrece dupa momentul vorbirii (voi lucra, voi tacea, voi culege, voi fugi);
-viitorul anterior: actiune care se va petrece in viitor si se va incheia inaintea unei alte actiuni viitoare (voi fi lucrat, voi fi tacut, voi fi cules, voi fi fugit);
Timpurile conjunctivului
-prezent: sa lucrez, sa tac, sa culeg, sa fug;
-perfect: sa fi lucrat, sa fi tacut, sa fi cules, sa fi fugit;
Timpurile conditional -optativului
-prezent: as lucra, as tacea, as culege, as fugi;
-perfect: as fi lucrat, as fi tacut, as fi cules, as fi fugit;
ÜNu uita! Imperativul, desi este mod predicativ, nu are forme decat pentru prezent.
%Atentie! Dintre modurile nepredicative doar infinitivul are forme distincte pentru timp, prezent si perfect, celelalte moduri neavand forme pentru mai multe timpuri.
6.Conjugarea verbului
Flexiunea verbului dupa diateza, mod, timp, timp, persoana si numar se numeste conjugare

ÜNu uita! Dupa terminatia infinitivului (forma de dictionar a verbelor) verbele se clasifica in patru conjugari:
Conjugarea I: verbe terminate in -a (a lucra, a canta, a visa etc.)
Conjugarea II: verbe terminate in -ea (a placea, a vedea etc.)
Conjugarea III: verbe terminate in -e (a bate, a merge, a spune etc.)
Conjugarea IV: verbe terminate in -i sau -i (a fugi, a dori, a cobori, a hotari etc.)
ÜNu uita! Conjugarea verbelor regulate la diateza reflexiva este aproape identica cu cea de la diateza activa. Paradigmele verbale sunt aceleasi, adaugandu-se in fata verbului pronumele reflexiv in dativ si acuzativ cu exceptia imperativului si gerunziului,cand pronumele sta dupa verb. Diateza reflexiva este defectiva de participiu si supin.









PRONUMELE
parte de vorbire flexibila care tine locul unui substantiv
Feluri: personal, de politete, reflexiv, de intarire, posesiv, demonstrativ, nehotarat, interogativ, relativ si negativ
Observatii:
1.Pronumele personal, de politete si reflexiv nu devin niciodata adjective
2.Pronumele de intarire, posesiv, demonstrativ, nehotarat, interogativ, relativ si negativ pot fi adjective
3.Pronumele personal, de politete, reflexiv, de intarire si posesivau forme dupa persoana
1.PRONUMELE PERSONAL
Observatii:
1.Forme neaccentuate se intalnesc doar in cazurile Ac. si D.
2.Vocativ are numai persoana a II-a: tu! voi!
3.Genitiv-numai persoana aIII-a: lui, ei, lor.
4.Persoanele I si aII-a nu au forme dupa gen : eu, tu, noi, voi
5.Pronumele dansa, dansul, dansii, dansele sunt pronume personale, nu de politete
Functii sintactice
-subiect: N: Tu ajungi primul.
-nume predicativ in: N: Fratele meu este el.
Ac: Intrebarea este pentru tine.
G: Cartea este a lui.
-atribut pronominal in: N(apozitie): Invitatul,adica el, sa pofteasca in casa.
G: Sfatul lui doveseste intelepciune.
Cartea din fata lui este a mea.
D: Copilu-i statea linistit (dativ posesiv)
-complement direct in: Ac: Te intreb si pe tine despre acest lucru.
-complement indirect in: Ac: A vorbit cu mine.
D: Lui i-am dat o carte.
G: (cu prepozitie) Napasta a cazut asupra ei.
-complement circumstantial de loc in:Ac: Merge la voi.
G: (cu prep. sau loc prep.) S-a asezat in fata lui.(ei, lor)
D: (insotit de prep. sau loc. prep. cu forma nearticulata):In fata-mi se
asezase o persoana importanta.
-complement circumstantial de mod in:Ac: A raspuns ca tine.
-complement circumstantial de cauza: G: N-a venit din pricina lui.
Situatii in care pronumele personal nu are functii sintactice:
-in V (tu! voi!)
-dativul etic: Vor sa mi-l omoare
-cand are valoare neutra: A luat-o la fuga
Da-i inainte fara grija!
2.PRONUMELE DE POLITETE
-are numai forme pentru persoanele aII-a si aIII-a
pers. aII-a: N-Ac: dumneata, dumneavoastra
G-D: dumitale
pers. aIII-a: N-Ac-G-D: dumnealui, dumneaei, dumnealor
Observatii:
-alte pronume de politete: Domnia ta (sa, lui, voastra), Maria ta(sa, lui, voastra),Inaltimea ta (sa, lui, voastra)
Excelenta ta (sa, lui, voastra).-folosite mai rar in vorbirea contemporana
-forme afective : mata, mataluta, matalica, talica, matale
-functii sintactice: aceleasi cu ale pronumelui personal( exceptii atr. pron. in D. si compl. circum. de loc in D)
3.PRONUMELE REFLEXIV
Observatii: -are forme proprii numai pentru pers. aIII-a, cazurile D si Ac
D: sie, siesi/isi, si
Ac: (pe) sine/ se
-pentru persoana I si aII-a imprumuta formele de la pronumele personale:
D: imi, iti-, ne, va (imi amintesc…)
Ac: ma, te-, ne-, va (ma gandesc…)
-formele de mai sus devin reflexive numai daca au aceeasi persoana cu verbul:
te gandesti ma framant
pers II II pers I I
Functii sintactice:
-complement direct: Ac: Te privesti in oglinda.
-complement indirect: D: Iti cumperi o carte.
Ac: Rar vorbea despre sine
-atribut pronominal: Ac: Lauda de sine ……
D: (dativ posesiv) Si-a certat copiii (copiii-si)
Mi-am aranjat cartile (cartile)
Observatii: Cand nu are functie sintactica, pronumele reflexiv se analizeaza impreuna cu verbul, fiind marca diatezei reflexive
Forma accentuata de Ac., insotita de art. hot. se substantivizeaza (Si-a soptit in sinea lui)
4.PRONUMELE SI ADJECTIVUL DE INTARIRE
Forme:
-masculin, singular: (eu) insumi fiu (m.sg)-vocala u- insumi (m.sg.)
(tu) insuti
(el) insusi
-feminin, singular: (eu) insami fiica (f.sg.)-vocala a-insami (f.sg.)
(tu) insati
(ea) insasi
-masculin, plural: (noi) insine fii (m.pl)-vocala i-insisi (m.pl.)
(voi) insiva
(ei) insisi
-feminin, plural: (noi) insene fiice (f.pl)-vocala e-insene (f.pl.)
(voi) inseva
(ele) insesi, insele
Observatii:
1.Se greseste mai ales la folosirea vocalelor u,a,i,e aflate in fata formelor: -mi, -ti, -si, -ne, -va, -le
2.Pronumele de intarire se foloseste rar in limba actuala. De cele mai multe ori, ele insotesc un pronume sau un substantiv devenind adjective de intarire, de aceea functia sintactica este de atribut adjectival.
3.Atentie la acord: Dan, Maria si Elena, ei insisi… (masculinul are prioritate)
Eu, tu si el noi insine…(persoana I are prioritate asupra celorlalte, iar persoana aII-a
asupra persoanei aIII-a)
4.Insusi poate fi inlocuit de adverbul chiar sau de alte sinonime (singur, propriu,personal,in persoana)

5.PRONUMELE SI ADJECTIVUL NEGATIV
Forme:
N-Ac: nimeni, nimenea N-Ac:nici unul,nici una, nici unii, nici unele
G-D: nimanui G-D:nici unuia, nici uneia, nici unora
nimic, nimica
-Ca adjective se intalnesc formele: nici o, nici un, nici unui, nici unei, nici unor.
-Aceleasi functii sintactice ca si celelalte pronume
Observatii:
1. Aceste pronume trebuie folosite in propozitii negative.
2.In exemplul:N-a stiut nici unul, nici altul- cuvantul subliniat este conjunctie, deci nu intra in alcatuirea unui pronume negativ.
6.PRONUMELE SI ADJECTIVUL POSESIV
-Are forme dupa persoana si dupa numarul obiectelor posedate:
ex. al meu, al tau, al sau a mea, a ta, a sa
ai nostri, ai vostri ale noastre, ale voastre
Formele se obtin cu ajutorul atricolului posesiv genitival: al, a, ai, ale
Observatie: Pronumele lui, ei, lor sunt personale, nu posesive
Functii sintactice:
-subiect: N: Ai mei au ajuns acasa.
-nume predicativ: N: Caietul acesta este al meu.
Ac: Florile sunt pentru ai mei.
-atribut pronominal Ac: Rar am vazut o privire ca a ta.
G: Sfatul alor mei mi-a fost de folos.
-complement direct: Ac: I-am vazut pe ai vostri.
-complement indirect:Ac: Se gandea la ai sai.
D: Le povestesc alor mei.
G: Toti s-au ridicat impotriva alor tai.
-complement de agent:Ac: A fost chemat de ai sai.
-compl. circum. de loc:Ac: Vin de la ai mei.
-atribut adjectival: N: Cartea ta este aici.
Ac: Locuieste pe strada mea.
D: Caietului tau ii lipseste o foaie.
G: Dorinta mamei mele e sfanta
V: o, copilul meu, fii mereu intelept!
Observatie:Pentru a afla cazul adjectivului posesiv nu se pun intrebarile al,a,ai,ale cui? ci se stabileste cazul substantivului cu care s-a acordat adjectivul, care preia genul, numarul si cazul substantivului determinat.
7.PRONUMELE SI ADJECTIVUL DEMONSTRATIV
Forme:
-de apropiere: acesta,aceasta,acestia,acestea,asta,asta,aista,aiasta, etc.
-de diferentiere: celalalt, cealalta, ceilalti,celelalte,etc.
-de departare: acela, aceea (f.sg.),aceia (m.pl.) acelea, aia, ala, etc.
-de identitate: acelasi, aceeasi, aceiasi, aceleasi
Functii sintactice: acelesi ca si la celelalte pronume, iar ca adjectiv una singura: atribut adjectival
Observatii: 1.“Acela” are si o forma mai redusa “cel”, care poate aparea numai in prezenta unui determinant obligatoriu (cel de acolo, cei prezenti)
2.Alte forme populare:asta,ista,aista,cesta,ala,alalalt,aia,isalalt.
3.Formele de feminin aceasta, asta,aceea intra si in componenta locutiunilor adverbiale (pentru asta, pe langa asta, cu toate acestea)
8.PRONUMELE SI ADJECTIVUL NEHOTARAT
Forme:
a)simple: unul, una, unii, unele altul, alta, altii, altele
atat, atata, atatia, atatea tot, toata, toti,toate
mult, putin, cutare
b)compuse (elemente de compunere: -va, -ori, -fie, -oare, -orisi, -vre, etc.)cineva, careva, ceva, catva, fiecine, oarecine, orisicine, altcineva, vreunul, etc.
Observatii:
1.Pronumele nehotarate in componenta carora intra cuvantul “cine” nu devin niciodata adjective.
2.Urmatoarele pronume nehotarate isi modifica forma atunci cand devin adjective:
unul-un una-o altul-alt alta-alta vreunul-vreun vreuna-vreo
3.Functii sintactice ale pronumelor nehotarate:subiect,nume predicativ,atribut,complement, iar a adjectivelor nehotarate: atribut adjectival.
9.PRONUMELE SI ADJECTIVUL INTEROGATIV
tine locul unui cuvant asteptat ca raspuns la intrebare
Forme:
N:cine? N-Ac: care? N-Ac: ce? N-Ac:cat?cata?cati? cate?
Ac:(pe) cine? G-D:caruia? G-D:nu are forme G-D: cator?
D:cui? careia?
G: (al,a,ai,ale) cui? carora?
Functii sintactice:
-subiect: N:Cine vine? (Andrei vine.)
-nume predicativ N:Care este sora ta? (Sora mea este aceasta.)
Ac:Pentru cine sunt cartile? (Cartile sunt pentru Dan.)
G:Ai cui sunt acesti copii? (Acesti copii sunt ai vecinei.)
-atribut pronominal: G:Ai cui bani lipseau? (Lipseau banii Mariei.)
-complement direct: Ac:Pe cine ai chemat? (Am chemat-o pe sora ta.)
-complement indirect:Ac:Despre cine vorbeai? (Vorbeam despre bunica.)
D: Cui i-ai povestit?(Ioanei i-am povestit.)
-compl.de agent: Ac:De cine ai fost ajutata?(Am fost ajutata de colegi.)
-compl. circum. de loc:Ac:La cine ai fost? (Am fost la vecini)
Observatii:
1.Pronumele interogativ cine? nu devine adjectiv.
2.Toate adjectivele interogative au aceeasi functie sintactica de atribut adjectival.
N:Care carte -ti lipseste?
Ac:Despre ce intamplare povestesti?
D:Carui copil i te adresezi?
G:Raspunsul carui coleg ti-a placut?
3.Pronumele interogativ CE este invariabil
4. Pronumle au functia sintactica,cazul, numarul si genul de la substantivul pe care il inlocuieste
10.PRONUMELE SI ADJECTIVUL RELATIV
Forme:
a)simple: N:cine N-Ac: care? N-Ac: ce? N-Ac:cat?cata?cati? cate?
Ac:(pe) cine G-D:caruia? G-D:nu are forme G-D: cator?
D:cui careia?
G: (al,a,ai,ale) cui carora?
b)compuse m.sg. f.sg. m.pl. f.pl.
N-Ac: cel ce ceea ce cei ce cele ce
D-G: celui ce celei ce celor ce
Functii sintactice:aceleasi cu ale pronumelui interogativ, doar ca exemplele trebuiesc introduse in fraze, in asa fel, incat pronumele sa devina relativ (el leaga o propozitie secundara de regenta ei). Functia poate fi aflata prin inlocuirea substantivelor pe care le substituie
Ex: -subiect: Stiu / cine vine.
-nume predicativ: Am aflat/ care este sora mea.
-atribut pronominal: Ma intereseaza/ ai cui bani lipseau.
Obs. 1.In anumite situatii pronumele relative pot deveni echivalente ca sens cu pronumele nehotarate (S-a dus care pe unde a apucat)
2.Pronumele relative pot intra in componenta unor locutiuni, expresii pronominale si adverbiale (care mai de care, care pe care, cine stie, cine stie cand, din ce in ce, cate si mai cate)




Articolul
Partea de vorbire flexibila care insoteste un substantiv, aratand in ce masura acesta e cunoscut vorbitorului
1.Clasificarea articolului

a)dupa inteles:-articol hotarat (propriu-zis)-arata ca obiectul denumit de substantiv este cunoscut vorbitorului
sau considerat ca atare
-articol nehotarat -prezinta obiectul denumit de substantiv ca nefiind bine cunoscut vorbitorului
-articol posesiv (genitival) -leaga substantivul care denumeste posesorul de obiectul posedat
-articol demonstrativ(adjectival) -leaga un substantiv de substantivul regent
b)dupa pozitie:-articol enclitic-se lipeste la sfarsitul cuvantului (omul ,cartea)
-articol proclitic-se afla in fata substantivului determinat (un caiet, niste carti)
%Atentie! 1.Articolul luat separat (fara cuvantul care il insoteste)nu are sens.
2.Articolul poate insoti -un substantiv (poezia, un om, lui Mihai)
-un adjectiv(silitorul elev,floarea cea frumoasa)
-un numeral (al doilea, a treia)
3.Articolul se analizeaza impreuna cu partea de vorbire pe care o insoteste (singur nu are functie sintactica)
4.Articolul are forme omonime cu alte parti de vorbire, dar poate fi depistat cu usurinta comparand opozitiile de numar (un caiet/niste caiete, un caiet/doua caiete; (articol-numeral))
2.Articolul hotarat
Se ataseaza substantivului, direct sau cu ajutorul unei vocale de legatura, aratand ca obiectul denumit de acesta este cunoscut vorbitorului
Forme flexionare:
Cazul
Masculin
Feminin
Neutru

Singular Plural
Singular Plural
Singular Plural
N-Ac
-l, -le, -a -i
-a -le
-l, -le -le
G-D
lui,-lui,-e(i) -lor
-i -lor
-lui -lor
V
-le -lor
- -lor
-le -lor

Cazul
Masculin
Feminin
Neutru

Singular Plural
Singular Plural
Singular Plural
N-Ac
elevul elevii
eleva elevele
scaunul scaunele
G-D
elevului elevilor
elevei elevelor
scaunului scaunelor
V
elvule! elevilor!
elevo! elevelor!
scaunule! scaunelor!
%Atentie! 1.Articolul hotarat apare ca element constructiv in structura unor pronume-dansul, dansa, in aceste cazuri nefiind analizabil
2.Prin articulare, unele adverbe si locutiuni adverbiale se transforma in prepozitii si locutiuni prepozitionale (inaintea, inapoia, in fata)
3.Substantivele feminine nume proprii de origine autohtona, terminate in vocalal “A” se articuleaza hotarat enclitic(cartea Mariei, Ioanei) iar cele de origine straina se articuleaza hotarat proclitic (cartea lui Jeni, lui Carmen)
4.Substantivele articulate hotarat care denumesc momentele zilei sau diviziuni de timp isi schimba valoarea gramaticala si devin adverbe (ziua, seara, joia, vara)
5.Cand sunt precedate de prepozitii substantivele in Ac. nu se articuleaza (merge la scoala), dar se articuleaza cand sunt insotite de un atribut (merge la scoala de muzica)
3.Articolul nehotarat
Insoteste un substantiv, precedandu-l intotdeauna, aratand obiectul definit de acesta nu este cunoscut vorbitorului
Forme flexionare:
Cazul
Masculin
Feminin
Neutru

Singular Plural
Singular Plural
Singular Plural


Adjectivul
Partea de vorbire flexibila care exprima insusirea unui obiect si se acorda in gen, numar si caz cu substantivul determinat
Observatii: Adjectivul poate exprima: -proprietati ale obiectelor sau fiintelor (greu, mic, usor, luminos)
-materia din care este facut un obiect (metalia, lemnos)
-elementele constitutive ale unei colectivitati (taranesc, studentesc) 22476mjm66jko8h
-referirea la posesor sau la origine (casa olteneasca)
1.Clasificarea adjectivelor
a)dupa forma: -variabile-cu 2 terminatii- la sg. au o forma pentru masculin si alta pentru feminin (bun/buna) jk476m2266jkko
-cu o terminatie-la sg. au aceeasi forma pentru masculin si feminin (casa/baiat mare)
-invariabile-provenite din adverbe (gata, asa, astfel)
-provenite din imprumuturi vechi (ditai, sadea)
-provenite din imprumuturi desemnand culori (crem, bleu, maro)
b)dupa origine: -propriu-zise(verde, bun, inalt)
-pronominale -posesive (caietul meu/tau/sau)
-demonstrative (fata aceasta/aceea)
-interogative ( care fata?)
-nehotarate(unii baieti/ unele fete)
-relative( ce fata )
-negative(nici un om)
-de intarire (fata insesi)
Observatii: Adjectivele variabile, cu o terminatie, se termina, de obicei in vocala E

c)din punct de vedere semantic: -calificative-primare (simple)- bun,frumos, albastru
-derivate cu ajutorul sufixelor (timpuriu, tineresc)
-determinative (provenite din alte parti de vorbire)
- pronominale -posesive (cartea mea/ta/sa)
-demonstrative (cartea aceasta/aceea)
-interogative ( care mama?)
-nehotarate(unii baieti/ unele fete)
-relative( ce carte )
-negative(nici o fapta)
-de intarire (el insusi)
-numerale (trei elevi)
-participale (pagina scrisa)
-gerunziale (masca razanda)
-adverbiale (barbat bine)
d)dupa numarul formelor flexionare realizate in declinare:
-cu 4 forme flexionare (in functie de gen, numar si caz) -propriu-zise (bun, simplu)
-participiale (iubit)
-gerunziale (suferind)
-cu 3 forme flexionare -cele terminate in consoanele C si G (lung, adanc)
-derivate cu sufixele -TOR, -ESC, -IU (satesc,cenusiu)
-cu 2 forme flexionare -terminate in E (dulce)
-terminate in consoana palatala (vechi, dibaci)
-terminate in diftong (balai, rotofei)
-invariabile (maro, eficace, motrice)
Observatii: 1.De regula se asaza dupa substantive (sunt postpuse)
2.Din punct de vedere sintactic, adjectivul poate avea urmatoarele functii:
-atribut(adjectival)- baiat bun, floare frumoasa
-nume predicativ (cand determina un verb copulativ) Ana este cuminte
-diferite feluri de complemente (determina un verb predicativ) Din verde s-a facut galben
3.Din punct de vedere stilistic, adjectivele sunt epitete
4.Sufixe adjectivale frecvente: -esc, -tor,-ean,-iu,-aret,-nic,-os
5.In categoria adjective calificative intra si locutiunile adjectivale(cu scaun la cap,de geniu)
6.Adjectivul poate sta si inaintea substantivului, de topica depinzand si articularea sa
2. Flexiunea adjectivului
In functie de flexiune, adjectivele sut variabile si invariabile;cele variabile se modifica dupa gen,numar si caz, prin desinente, insotite
sau nu de alternante fonetice

Desinente de gen(la singular):
Masculin/Neutru
Feminin

-u
-u
-
-
-a
-e
-a
-e
simplu-a/albastru-a
auriu-e/cenusie-e
bun-a/frumos-frumoasa
amarui-e/vechi-e

Observatii: 1.Adjectivele terminate in E (mare, dulce) nu prezinta diferente de gen la singular (om mare-casa mare)
2.Adjectivele terminate la masculin in -U vocalic sau semivocalic(greu, rosu, rau) au femininul in -EA (grea, rea) si in -IE (rosie)
3.Alternantele vocalice frecvente la opozitia de gen -E/EA (intreg/intreaga)
-O/OA (prost/proasta)
-IE /IA (biet/biata)
-E/A (desert/desarta)
Desinente de numar:
Observatii: 1.Unele adjective au forma unica pentru ambele numere:
-fie numai la feminin- cele terminate in -TOR (fata/fete silitoare)
-fie numai la masculin (pantof/pantofi vechi)
-fie la ambele genuri (copil/copii balai fata/fete balaie)
1.      Alternante vocalice: ea/e(oltean/olteni) oa/o (moale/moi) ea/e (geman/gemeni) a/i (tanar/tineri), a/e
(teapan/tepeni)
3. Alternante consonantice: s/s (sfios/sfiosi) t/t (lat/lati) d/z (crud/cruzi) c/c(sarac/saraci) st/st (trist/tristi) g/g (lung/lungi)
Modificari dupa cazuri:
Observatii:Adjectivul sta dupa substantiv, sau poate sa preceada substantivul
1.Cand adjectivul sta dupa substantiv el nu se articuleaza
2.Cand adjectivul sta inaintea substantivului, el capata o semnificatie speciala care ii mareste expresivitatea
3.Unele adjective au o topica fixa in raport cu substantivul. De exemplu adjectivele pronominale stau numai in fata substantivului (oricare om) precum adj. “biet”.Pe de alta parte adjectivele provenite din participii stau numaidupa substantiv (pomul laudat)
4.Unele adjective isi schimba sensul in functie de topica (are o parte buna-opusa lui rea/O buna parte nu au-o parte dintr-un intreg)
5.Adjectivele invariabile au o singura forma pentru toate genurile,numerele si cazurile. Din aceasta categorie fac parte adjectivele nume de culori (bej, crem),adjectivele terminate in -CE (eficace) adjectivele cuvinte vechi in limba (sadea, gata,ditamai)

sâmbătă, 16 iunie 2012

Şiruri şi serii de numere reale




1.1. Numere reale

În cele ce urmează vom nota cu 􀀀 mulţimea numerelor naturale, adică mulţimea

{}0,1,2,,,nKK şi cu {}*\0=􀀀􀀀

Pe mulţimea numerelor naturale sunt definite două operaţii: adunarea (notată cu +) şi înmulţirea (notată cu ⋅).

Deoarece elementele din nu sunt simetrizabile nici faţă de adunare, nici faţă de înmulţire, operaţiile de scădere şi împărţire nu sunt posibile în Ν. (Ν nu are structură de grup nici faţă de adunare, nici faţă de înmulţire). *􀀀

Pentru a face posibilă operaţia de scădere, la mulţimea numerelor naturale se adaugă mulţimea numerelor negative şi se obţine astfel mulţimea numerelor întregi

{},,,2,1,0,1,2,,,nn=−−−􀀀KKKK

(),,+⋅􀀀 este inel comutativ. Următoarea extensie a numerelor este mulţimea numerelor raţionale , adică mulţimea numerelor de forma 􀀀pq, unde p, q ∈ , q ≠ 0, p şi q prime între ele. În sunt definite cele patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea (cu excepţia împărţirii la zero). Din punct de vedere algebric este corp comutativ. 􀀀􀀀(,,+⋅􀀀 )

Încă din antichitate s-a observat că mulţimea numerelor raţionale nu este suficient de bogată pentru a servi la exprimarea măsurii oricărei mărimi din natură. Construcţii geometrice foarte simple se conduc la mărimi a căror măsură nu se poate exprima cu ajutorul numerelor raţionale. Cel mai simplu exemplu este diagonala unui pătrat de latură 1. Într-adevăr, conform teoremei lui Pitagora, pătratul lungimii acestei diagonale este 2 şi este binecunoscut faptul că nu există nici un număr raţional al cărui pătrat să fie egal cu 2. Este deci necesar să adăugăm la mulţimea numerelor raţionale şi numere de altă natură, pe care le numim numere iraţionale şi obţinem mulţimea numerelor reale ϒ.
  1. Ce să mai citim?

  2. Povestea Lustragiului

  3. Noile vaccinuri  

  4. Nanotehnologia în evoluție

  5. Primarul care nu frură

  6. Duda a pus mâna pe Casa Regală

  7. Nu poti multiplica bogatia divizand-o !  

Calculul pensiei militare  PENSII MILITARE DE STAT

Dacă primele extensii ale mulţimii numerelor naturale Ν şi anume 􀀀 şi 􀀀, au fost determinate de necesităţi algebrice, extensia de la 􀀀 la ϒ este determinată de necesităţi topologice (de convergenţă). Mulţimea numerelor raţionale suferă de o anumită "incompletitudine", deoarece, în această mulţime există şiruri monotone şi

1. Şiruri şi serii de numere reale

11

mărginite care nu au limită (în 􀀀). Vezi de exemplu şirul 01a=; ; ; 11,4a=21,41a=31,414a=; … a cărui limită este 2∉􀀀. Prin crearea mulţimii numerelor reale se înlătură acest "defect".

În ϒ, orice şir monoton şi mărginit are o limită. Nu ne propunem să prezentăm aici construcţia numerelor reale. O să spunem numai că se poate construi o mulţime ϒ care conţine corpul numerelor raţionale 􀀀, pe care sunt definite două operaţii, adunarea (notată cu +) şi înmulţirea (notată cu ⋅) şi o relaţie de ordine (notată ≤) astfel încât (),,,+⋅≤􀀀 este corp comutativ total ordonat, care satisface în plus următoarele proprietăţi:

(P.A.) (Axioma lui Arhimede)

Pentru orice x ∈ ϒ şi orice y ∈ ϒ, y > 0 există n ∈ Ν astfel încât ny ≥ x.

(PC) (Axioma lui Cantor)

Dacă {}na şi {}nb sunt două şiruri de numere raţionale care au următoarele proprietăţi:

1) 122nnaaabbb≤≤≤≤≤≤≤KKK 1

2) ()lim0nnnba→∞−=*)

atunci există c ∈ ϒ (unic) astfel încât nacbn ≤≤, ∀ n ∈ Ν.

Prin urmare, din punct de vedere algebric, ϒ este grup abelian faţă de adunare, având elementul neutru 0, iar ϒ \ {0} este grup abelian faţă de înmulţire, având elementul neutru 1. În plus are loc proprietatea de distributivitate:

. (),,,xyzxyxzxyz+=+∀∈􀀀

Relaţia de ordin "≤" este totală, adică pentru orice x, y ∈ ϒ avem sau x ≤ y sau y ≤ x şi compatibilă cu structura algebrică:

xy≤′ ′ şi xy≤′′′′ atunci xxyy+≤+′′′′′′

xy≤ şi α ≥ 0 atunci αx ≤ αy

Din faptul că ϒ este corp comutativ total ordonat rezultă toate regulile de calcul cu numere reale.

Observaţia 1.1.1. Axioma lui Arhimede este echivalentă cu următoarea proprietate:

∀ x ∈ ϒ, ∃ [x] ∈ 􀀀 astfel încât [x] ≤ x < [x] + 1

([x] se numeşte partea întreagă a lui x).

Într-adevăr, dacă x ∈ 􀀀, atunci [x] = x. Dacã x ∈ ϒ \ 􀀀 şi x > 0, atunci considerând în axioma lui Arhimede y = 1, rezultă că există n ∈ Ν astfel încât x < n. Fie xn cel mai mic număr natural mai mare ca x şi fie [x] = xn – 1. Se verifică imediat că:

[x] ≤ x < [x] + 1.

*) ∀ ε > 0, ∃ astfel încât *nε∈􀀀nnba−<ε, ∀ nnε≥.

ANALIZĂ MATEMATICĂ

12

Dacă x ∈ ϒ \ 􀀀, x < 0, atunci [x] = – [–x] – 1.

Reciproc, fie x ∈ şi y > 0. Dacă notăm cu n =+􀀀1xy⎡⎤+⎢⎥⎣⎦, atunci xnyyxy>=.

Propoziţia 1.1.1. Pentru orice x, y ∈ ϒ în situaţia x < y există r ∈ 􀀀 astfel încât

x < r < y.

Demonstraţie

Cazul 1: x = 0 < y. Deoarece 1n→ 0, există astfel încât *0n∈􀀀01n< y şi alegem r = 01n.

Cazul 2: 0 < x < y. Fie a =()102yx−> şi fie 1r∈􀀀 cu proprietatea . 10ra<<

Dacă notăm cu 111xrrr⎛⎞⎡⎤=⎜⎢⎥⎜⎣⎦⎝⎠

+ ⎟⎟

, atunci r ∈ 􀀀 şi avem

()()11111122xrrxrxyxxyyr⎛⎞≤+=+<+−=+<⎜⎟⎝⎠.

Pe de altă parte 11xrrxr>⋅=. Aşadar, r ∈ 􀀀 şi x < r < y.

Cazul 3: x < 0 < y. Alegem r = 0.

Cazul 4: x < y < 0. Atunci ∃ r∈􀀀 astfel încât –x > r> –y. Alegem r = –r.

Definiţia 1.1.1. O mulţime A se numeşte numărabilă dacă există o aplicaţie bijectivă :fA→􀀀. Dacă notăm cu ()nafn=, ∀ n ∈ Ν, rezultă că o mulţime este numărabilă dacă elementele sale pot fi puse sub forma unui şir

{}12,,,,nAaaa=KK

Se observă uşor că o reuniune finită de mulţimi numărabile este de asemenea o mulţime numărabilă.

Propoziţia 1.1.2. Mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.

Demonstraţie

Elementele mulţimii +􀀀 pot fi puse sub forma următorului tablou:

1. Şiruri şi serii de numere reale

13

11

21

31

41

… 12

22

32

42

… 13

23

33

43

… 14

24

34

44



…………………………………………

Urmând săgeţile, se observă că elementele mulţimii +􀀀 se pot pune sub forma unui şir

=+􀀀1211234,,,,,,,............1123211⎧⎨⎩⎭

⎫⎬

,

de unde rezultă cã este numărabilă. În mod analog +􀀀−􀀀 este numărabilă. Cum {}0+−=􀀀􀀀U􀀀U rezultă că mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.

Propoziţia 1.1.3. Mulţimea []{}0,1:01xx=∈≤≤􀀀 nu este numărabilă.

Demonstraţie

Presupunem prin absurd că mulţimea [0, 1] este numărabilă, deci că

[]{}120,1,,,,......nIxxx==K.

Împărţim intervalul I în trei intervale închise egale. Există cel puţin un subinterval (dintre acestea) care nu-l conţine pe 1x. Notăm cu acest interval. Împărţim acum intervalul în trei părţi egale. Există cel puţin un interval care nu-l conţine pe 1I1I2I2x. Procedând în continuare în acest mod obţinem un şir de intervale închise

⊃⊃ …⊃⊃ … cu proprietatea că 1I2InIn n xI∉.

Pe de altă parte observăm că lungimea intervalului este nI13n.

Dacă notăm cu , respectiv , extremităţile intervalului , obţinem două şiruri de numere raţionale nanbnI{}na, {}nb care îndeplinesc condiţiile din axioma lui Cantor. Rezultă că există y ∈ ϒ astfel încât 1nnyI I

∞=∈⊂I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ

14

Pe de altă parte este evident că nyx≠ pentru orice n, deci y ∉ I. Am ajuns astfel la o contradicţie.

Corolarul 1. Pentru orice ,,abab∈<􀀀 mulţimea [],ab={};xaxb=∈≤≤􀀀 nu este numărabilă.

Într-adevăr, mulţimile [],abşi []0,1 pot fi puse în corespondenţă bijectivă prin funcţia [][:0,1, ] fab→ definită astfel:

()()fxabax=+−

Corolarul 2. Pentru orice ,,abab∈<􀀀 există cel puţin un număr iraţional z astfel încât a < z < b.

Demonstraţie

Mulţimea numerelor raţionale care aparţine intervalului ( este numărabilă, în timp ce mulţimea ) ,ab(),ab este nenumărabilă. Dacă ar fi numărabilă atunci [](,ab)

(){},,,ababab=∪ ar fi numărabilă, ceea ce este absurd. Rezultă că există (),\zab∈􀀀.

Din Propoziţia 1.1.1 şi 1.1.3 rezultă că între două numere reale se află o infinitate de numere raţionale şi o infinitate de numere iraţionale.

Propoziţia 1.1.4. Dacă {}{},nnxy sunt două şiruri de numere reale cu proprietăţile:

1) 122nn 1 xxxyy y ≤≤≤≤≤≤≤≤KKK;

2) ∞→nlim()0nnyx−=,

atunci există z ∈ ϒ (unic) astfel încât ,nnxzyn≤≤∀∈􀀀.

Demonstraţie

Din Propoziţia 1.1 rezultă că pentru orice n ∈ Ν există na∈􀀀 şi astfel încât nb∈􀀀

122nnnnnnnxaxyby−<<≤<<+ 1

n. (1.1)

Observăm că şirul {}na poate fi ales crescător, iar şirul {}nb poate fi ales descrescător. Într-adevăr, fie 12,aa∈􀀀 astfel încât

1112 1 xax−<< şi 22212 2 xax−<<.

1. Şiruri şi serii de numere reale

15

Dacă notăm cu ()21max,aa= 2 a 2 şi ţinem seama că 1xx≤, rezultă 22212 2 xax−<<. Evident . În continuare se poate arăta prin inducţie completă că şirul {2aa≥ 1

}na este crescător. Analog se poate arăta cã {}nb poate fi ales descrescător.

Deoarece ()1102nnnnnbayx−<−<−+, rezultă că ∞→nlim()0nnba−=. Din axioma Cantor rezultă că există z ∈ ϒ, unic, astfel încât nazbn ≤≤, ∀ n. Cum {}nx este crescător avem:

11,22nnknknknkxxazk++++−≤−≤≤∀∈􀀀 (1.2)

În continuare avem 1,2nnkxzk+−≤∀∈􀀀, de unde rezultă 0nxz−≤ şi deci ,nxz≤∀n. În mod asemănător se arată că ,nzyn≤∀.

Observaţia 1.1.2. O mulţime de numere reale A se numeşte majorată (minorată) dacã există b ∈ ϒ astfel încât ()xbxb≤≥, ∀ x ∈ A.

Numărul b se numeşte majorant (minorant). Este evident că dacă A admite un majorant (minorant) atunci admite o infinitate de majoranţi (minoranţi). O mulţime se numeşte mărginită dacă este majorată şi minorată.

Se numeşte marginea superioară (inferioară) a mulţimii A cel mai mic majorant (cel mai mare minorant) al mulţimii A.

Marginea superioară a mulţimii A se notează cu supA, iar marginea inferioară cu infA.

Teorema 1.1.1. Orice mulţime de numere reale majorată (minorată) are margine superioară (inferioară).

Demonstraţie

Vom demonstra existenţa marginii superioare. Dacă mulţimea A e finită, adică {}12,,,pAaaa=K, atunci evident {}12supmax,,,pAaaa=K.

Fie A majorată şi infinită şi fie a, b ∈ 􀀀 astfel încât b este majorant pentru A, iar a nu este majorant pentru A. Fie c mijlocul intervalului [a, b].

Dacă c este majorant pentru A, notăm cu []11,ab intervalul [],ac, iar dacă c nu este majorant pentru A notăm cu []11,ab intervalul [],cb. Fie mijlocul intervalului . Procedând ca mai înainte, notăm cu 2c[11,ab ] []22,ab intervalul

ANALIZĂ MATEMATICĂ

16

[]12,ac dacă este majorant pentru A, respectiv intervalul 2c[]21,cb, dacă nu este majorant pentru A şi aşa mai departe. 2c

Se obţin astfel două şiruri de numere raţionale {}na, {}nb cu următoarele proprietăţi:

1) 122nnaaabbb≤≤≤≤≤≤≤≤KKK 1

2) ∞→nlim()nnba−=∞→nlim02nba−=

3) pentru orice este majorant, iar nu este majorant al mulţimii A. *,nn∈􀀀 b na

Din axioma lui Cantor rezultă că există M∈􀀀 astfel, , ∀ n ∈ Ν. Observăm că M = supA. Într-adevăr, M este majorant pentru A, pentru că în caz contrar, există x ∈ A astfel încât M < x. Deoarece nnaMb≤≤∞→nlim()nnba−= 0, există cu proprietatea . *0n∈􀀀00nnbaxM−<−

În continuare avem ()00nnbxaM x <+−≤, ceea ce contrazice faptul că este majorant pentru A. Arătăm acum că M este cel mai mic majorant al mulţimii A. Să presupunem prin absurd că există M' < M, M' majorant pentru A. Fie astfel încât 0nb*1n∈􀀀11nnbaMM′−<−. Mai departe avem:

()11nnaMbMM′′>+−≥

de unde rezultă cã este majorant pentru A. Am ajuns astfel la o contradicţie. În concluzie, M este cel mai mic majorant al mulţimii A, deci marginea superioară a mulţimii A. Demonstraţia existenţei marginii inferioare este analogă. 1na

Observaţia 1.1.3. M ∈ ϒ este marginea superioară a mulţimii A dacă şi numai dacă

1) ,xMx≤∀∈A

2) 0,xAε∀ε>∃∈ astfel încât Mxε−ε<.

Într-adevăr, dacă M = supA, atunci M este majorant pentru A, de unde rezultă 1). Deoarece M este cel mai mic majorant al mulţimii A, rezultă că ∀ ε > 0, M – ε nu este majorant pentru A, deci ∃ . Fie acum M ∈ ϒ cu proprietăţile 1) şi 2). Din 1) rezultă cã M este majorant pentru A. Fie xMε>−ε

MM′< şi fie . Din 2) rezultă că există 0MM′ε=−>xAε∈ astfel încât xMMε′>−ε=. Prin urmare M' nu este majorant pentru A şi deci M = supA.

1. Şiruri şi serii de numere reale

17

1.2. Şiruri de numere reale (complemente)

Reamintim că un şir de numere reale {}na se numeşte convergent (are limită finită) dacă există l ∈ ϒ astfel încât ∀ ε > 0, ∃ un rang nε∈􀀀 astfel încât ∀ avem nnε≥nal−<ε .

Definiţia 1.2.1. Fie {}na un şir de numere reale şi 12nkkk<<<<KK un şir strict crescător de numere naturale. Şirul {}nka se numeşte subşir al şirului {}na. În particular şirul iniţial {}na poate fi privit ca un subşir al său (cazul ). nkn=

Dacă şirul {}na este convergent şi are limita l, atunci orice subşir al său este convergent şi are limita l. (Afirmaţia rezultă imediat din Observaţia ). nnk≤

Lema 1.2.1. (Cesàro). Orice şir mărginit de numere reale conţine un subşir convergent.

Demonstraţie

Fie {}nx un şir de numere reale mărginit. Atunci există ,ab∈􀀀 astfel încât , ∀ n ∈ Ν. Fie c mijlocul intervalului [a, b]. Cel puţin unul din intervalele [a, c], [c, b] conţine o infinitate de termeni ai şirului naxb<<{}nx.

Presupunem că [a, c] are această proprietate. Atunci notăm şi . Fie mijlocul intervalului [. Cel puţin unul din intervalele 1aa=1bc=1c ] 11,ab[]11,ac, [] conţine o infinitate de termeni ai şirului 11,cb{}nx. Să presupunem că are această proprietate. Atunci notăm [11,cb ]

21ac=,2bb1 = şi aşa mai departe. Se obţin astfel două şiruri de numere raţionale {}na, {}nb cu proprietăţile:

1) 122nnaaabbb≤≤≤≤≤≤≤≤KKK 1

2) ()limlim02nnnnnbaba→∞→∞−−==.

3) ∀ n ∈ Ν, intervalul [ conţine o infinitate de termeni ai şirului { ] ,nnab}nx.

Din axioma lui Cantor rezultă că există x ∈ ϒ astfel încât , ∀ n ∈ Ν. nnaxb≤≤

Alegem astfel încât *

1k∈􀀀[]111,kxab∈. Deoarece []22,ab conţine o infinitate de termeni ai şirului {}nx, există , astfel încât *

1 2k∈􀀀2kk>[]222,kxab∈.

Procedând în continuare în mod asemănător rezultă că există un şir strict crescător de numere naturale

ANALIZĂ MATEMATICĂ

18

12nkkk<<<<K K astfel încât [],nkn n xab∈ ∀ n ∈ Ν.

Deoarece 2nknnnbaxxba−−≤−= rezultă că {}nkx converge la x.

Definiţia 1.2.2. Un şir de numere reale {}nx se numeşte fundamental (Cauchy) dacă ∀ ε > 0, ∃ astfel încât ∀ *nε∈􀀀,mnnε≥ avem mnxx−<ε.

Notând cu p = m – n (dacă m > n), respectiv p = n – m (dacă m < n) obţinem următoarea definiţie echivalentă: {}nx este fundamental dacă ∀ ε > 0, ∃ astfel încât ∀ şi avem *nε∈􀀀nnε≥*p∀∈􀀀npnxx+−<ε.

Lema 1.2.2. Orice şir fundamental este mărginit.

Demonstraţie

Fie {}nx un şir fundamental. Pentru ε = 1 există astfel încât *1n∈􀀀

1npnxx+−<, 1nn∀≥, . *p∀∈􀀀

Pentru 1nn= rezultă

111npnxx+−<, , deci *p∀∈􀀀

, . 11111 xn − < xn + p < xn + ∀ p∈􀀀 *

Dacă notăm cu

{}1111min,,,1nnaxxx−=−K şi cu {}1111max,,,1nnbxxx−=+K

atunci , ∀ n ∈ Ν. naxb≤≤

Teorema 1.2.1. (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)

Condiţia necesară şi suficientă ca un şir de numere reale să fie convergent este să fie fundamental.

Demonstraţie

Necesitatea. Fie {}nx un şir convergent, având limita l ∈ ϒ. Pentru ∀ ε > 0, ∃ astfel încât *nε∈􀀀2nxlε−<, ∀ nnε≥. Dacă mnε≥, atunci 2mxlε−< şi mai departe ()()22mnmnmnxxxllxxlxlεε−=−+−≤−+−<+=ε. Aşadar, ∀ avem ,nmnε≥mnxx−< ε, deci {}nx este fundamental.

Suficienţa. Fie {}nx un şir fundamental. Pentru ∀ ε > 0, ∃ astfel încât ∀ *nε′∈􀀀,nmnε′≥ avem:

1. Şiruri şi serii de numere reale

19

2nmxxε−< (1.3)

Pe de altă parte, din Lema 1.2.2. rezultă că şirul {}nx este mărginit, iar din Lema 1.2.1, că admite un subşir nkx convergent. Fie limnknl→∞

x = şi fie astfel încât: *nε′′∈􀀀

2nkxlε−<, ∀ nnε′′≥. (1.4)

Dacă şi ()max,nnεε= ′ n′′ n n ε, atunci din (1.3) şi (1.4) rezultă: ≥ ε

22nnnnnnkknkkxlxxxlxxxlεε−=−+−≤−+−<+=ε.

Aşadar, nxl−<ε pentru orice nnε≥, deci {}nx este convergent şi are limita l.

Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy stabileşte că pentru şirurile de numere reale noţiunile de şir convergent şi şir fundamental sunt echivalente. Prin urmare, este suficient să verificăm pentru un şir că este fundamental (deci o condiţie mai slabă) ca să tragem concluzia că este convergent.

Exemplu: Să se studieze convergenţa şirului cu termenul general 2coscos2cos222nnxxa=+++K

nx (x ∈ ϒ oarecare fixat). Verificăm că şirul {}na este fundamental. Într-adevăr avem:

()()11cos1cos11222npnnnpnnxnpxaa++++++

2n+ p −=++≤++KK =

11111n

2

2 1 1 2

2

p

n+



= ⋅ <



p∈􀀀 * , .

Deoarece ∞→nlim102n=, rezultă că ∀ 0ε>, astfel încât *nε∈􀀀12npnnaa+−<<ε , ∀ nnε≥ şi ∀ . Aşadar, şirul *p∈􀀀{}na este fundamental şi deci convergent.

Datorită importanţei deosebite pentru analiza matematică a criteriului general de convergenţă al lui Cauchy, prezentăm în continuare o altă demonstraţie a sa, mai precis a implicaţiei: orice şir fundamental este convergent.

Fie {}nx un şir fundamental. Pentru Fie 12kε= există astfel încât *kn∈􀀀

ANALIZĂ MATEMATICĂ

20

12nmkxx−<, ∀ . (1.5) ,knmn≥

În particular avem:

12knnkxx−<, . (1.6) knn≥

Pentru 112k+ε= există *1kn+∈􀀀 astfel încât

112nmkxx+−<, ∀ 1,knmn+≥. (1.7)

Dacă alegem ()11max,kknnn++> k

n

, atunci

şi 1kkn+>112kknnkxx+−<.

Prin urmare dacă {}nx este fundamental, există un subşir al său {}knx cu proprietatea:

1122kkknnnkxxx+−<<+ 1

k , ∀ k ∈ Ν. (1.8)

Dacă notăm cu 112kknkax−=− şi 112kknkbx−=+ atunci şirurile {}ka şi {}kb satisfac condiţiile Propoziţiei 1.1.4. Într-adevăr, ţinând seama de (1.8) avem:

11111111022222kkkknnkkkkkaaxx++−−=−−+>−−+=

−1

111111111022222kkkknnkkkkkbbxx++−−−=−++<+−=

2102kkkba−−=→ pentru k → ∞.

Prin urmare, există x ∈ ϒ astfel încât

1122knkknkxaxbx−−=≤≤=+1

1

k k − , ∀ k ∈ Ν. (1.9)

Din (1.8) şi (1.9) rezultă

132knkxx+−<, ∀ k ∈ Ν. (1.10)

Aşadar, subşirul {}knx este convergent şi are limita x. Fie ε > 0 şi astfel încât *nε′∈􀀀

2knxxε−<, ∀ knε′≥. (1.11)

Fie astfel încât *nε′′∈􀀀

1. Şiruri şi serii de numere reale

21

2mnxxε−<, ∀ ,mnnε′′≥ (1.12)

Dacă notăm cu ()max,nnεεnε′′′=, atunci din (11) şi (12), pentru avem: nnε≥

22kknnnnxxxxxxεε−≤−+−<+=ε,

de unde rezultă că {}nx converge la x.

Teorema 1.2.2. Orice şir monoton şi mărginit este convergent.

Demonstraţie

Fie {}nx un şir monoton crescător şi mărginit. Deoarece mulţimea {};nxn∈􀀀 este majorată, din Teorema 1.1.1. rezultă că există {}sup;nMxn=∈􀀀. Din Observaţia 1.1.2. rezultă că nxM≤, ∀ n ∈ Ν şi ∀ ε > 0, ∃ nε∈􀀀 astfel încât nMxε−ε<. Deoarece şirul {}nx este monoton crescător, rezultă nnxxε≥, ∀ . nnε≥

Prin urmare, pentru orice nnε≥ avem:

, adică nMxMM−ε<≤≤+εnxM−<ε, (1.13)

de unde rezultă că {}nx este convergent şi are limita M.

Cel mai cunoscut exemplu de aplicaţie a Teoremei 1.2.2. este şirul 11nnan⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠. Se ştie din liceu că acest şir este monoton crescător şi mărginit (2, ∀ n ∈ Ν). Limita sa se notează cu e. Deci 3 na≤<1lim1nnen→∞⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠. Despre numărul e se poate arăta că este iraţional şi valoarea sa este aproximativ egală cu e ≈ 2,71828.

În continuare prezentăm o altă aplicaţie interesantă a Teoremei 1.1.1.

Exemplu. Fie şirul cu termenul general

111123nan=++++−K ln n.

Vom arăta că acest şir este monoton descrescător şi mărginit. Pentru aceasta folosim următoarea inegalitate cunoscută din liceu

()ln1xx+<, ∀ x > –1, x ≠ 0. (1.14)

Într-adevăr,

11ln11nnnaann+−=+++=1111ln10111nnnn⎛⎞

1

+−<−=⎜⎟++++⎝⎠, ∀. *n∈􀀀

Aşadar , ∀ . 1nna+<a 1n≥

ANALIZĂ MATEMATICĂ

22

Pe de altă parte, deoarece 11ln1nn⎛⎞>+⎜⎟⎝⎠ = 1lnnn+ , vom avea: 1111ln>

n 2 3 a n

n

= + + +K+ −

231lnlnlnln12nnn++++−=K

=()2341lnlnln1ln0123nnnnn+⋅⋅−=+−>K0na⇒>, ∀ n ≥ 1.

Rezultă că şirul {}na este convergent. Limita sa se notează cu C şi se numeşte constanta lui Euler şi este aproximativ egală cu 0,5772156.

Dacă notăm cu 1111l23nnCn⎛ε=++++−−⎜⎝⎠K n ⎞⎟

, atunci {}nε este un şir de numere pozitive, descrescător, cu lim0nn→∞ε=. Rezultă următoarea identitate:

1111ln23nnCn++++=++εK, (1.15)

care se dovedeşte utilă în aplicaţii şi va fi folosită mai departe.

1.3. Dreapta încheiată. Limitele extreme ale unui şir

Reamintim că prin dreapta încheiată se înţelege mulţimea {};=−∞∞􀀀􀀀U. Pe mulţimea 􀀀 se consideră relaţia de ordine obţinută prin prelungirea relaţiei de ordine de pe ϒ astfel:

, −∞<∞x−∞< şi x<∞, ∀ x ∈ϒ.

În felul acesta 􀀀 este o mulţime ordonată.

Dacă A ⊂ ϒ este o mulţime nevidă care nu este majorată, definim supA = = +∞. În mod analog, dacă A nu este minorată definim infA = –∞. Cu această convenţie, orice mulţime de numere reale este mărginită în 􀀀. Operaţiile algebrice de pe ϒ se extind pe 􀀀, fără însă să fie peste tot definite şi anume:

x∞+=∞, ∀ x∈􀀀, x ≠ –∞

x−∞+=−∞, ∀ x∈􀀀, x ≠ ∞

daca0daca0xxx∞>⎧∞=⎨−∞<⎩((, x∈􀀀.

Definiţia 1.3.1. Un şir de numere reale {}nx are limita ∞ (respectiv –∞) dacă ∀ ε ∈ ϒ, ∃ astfel încât (respectiv nε∈􀀀nx>εnx<ε), ∀ . nnε≥

Se folosesc notaţiile: limn→∞nx=∞ (respectiv limn→∞nx=−∞).

Propoziţia 1.3.1. Orice şir monoton de numere reale are limită în 􀀀. Orice şir de numere reale conţine un subşir care are limită în 􀀀.

1. Şiruri şi serii de numere reale

23

Demonstraţie

Fie {}nx un şir monoton crescător de numere reale. Dacă {}nx este mărginit superior, atunci {}nx este convergent, deci are limită finită. (Teorema 1.2.2.) Dacă {}nx nu este mărginit superior, atunci pentru ∀ ε ∈ ϒ, ∃ . Cum {nxε>ε}nx este crescător vom avea , ∀ nx>εnnε≥, deci limn→∞nx=+∞. Dacă {}nx este descrescător se procedează în mod analog.

Fie acum {}nx un şir de numere reale oarecare. Dacă {}nx este mărginit, atunci din Lema Cesàro rezultă că există un subşir {}knxconvergent. Să presupunem că {}nx nu este mărginit (de exemplu nu este mărginit superior). Vom arăta în acest caz că există un subşir care are limita +∞. Într-adevăr, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 1. Fie . De asemenea, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 2. Atunci putem alege astfel încât . Construim astfel prin inducţie un şir strict crescător de numere naturale {11kx>2kk> 1

22kx>}nk cu proprietatea nkxn>. Rezultă limn→∞nkx= ∞.

Definiţia 1.3.2. Fie {}nx un şir de numere reale şi a ∈ 􀀀. Spunem că a este punct limită pentru şirul {}nx dacă există un subşir {}nkx astfel încât . limnknax→∞=

Observaţia 1.3.1. Dacă un şir are limită, atunci acest şir are un singur punct limită care coincide cu limita sa.

Exemple

1) Şirul are două puncte limită –1 şi 1. ()1nnx=−

2) Şirul are două puncte limită 0 şi ∞. ()1nnxn−=

3) Şirul nxn= are un singur punct limită ∞.

4) Şirul ()1nnxn−= are un singur punct limită 0.

Teorema 1.3.1. Pentru orice şir de numere reale {}nx există un cel mai mic punct limită (finit sau nu) şi un cel mai mare punct limită (finit sau nu).

Demonstraţie

ANALIZĂ MATEMATICĂ

24

Dacă {}nx nu este majorat, atunci din Propoziţia 1.3.1. rezultă că există un subşir care are limita +∞. Aşadar, +∞ este punct limită şi evident este cel mai mare.

Să presupunem acum că şirul {}nx este majorat şi să notăm cu A mulţimea punctelor sale limită finite. Dacă A este vidă, atunci din Lema Cesàro rezultă cã {}nx nu este mărginit inferior. În această situaţie –∞ este singurul punct limită şi deci şi cel mai mare. Să presupunem acum A ≠ φ. Cum {}nx este majorat, rezultă că şi A este majorată, deci există supA ∈ ϒ (Teorema 1.1.1.). Să observăm însă că α = supA ∈ A. Într-adevăr, din definiţia marginii superioare rezultă că ∀ există astfel încât *p∈􀀀pa∈A

1papα−<≤α.

Pe de altă parte, pentru există un subşir al şirului pa{}nx convergent la . Aşadar, pentru există pa1a1kx astfel încât 111kxa−<. Pentru există 2a2kx, astfel încât 2kk> 1 2212kxa−<.

Prin inducţie construim un şir de numere naturale 12nkkk<<<<KK cu proprietatea 1pkpxap−<. Din inegalitatea

112ppkkppxxaappp−α≤−+−α<+=

rezultă pkx→α. Aşadar, α = supA este punct limită al şirului {}nx şi evident, este cel mai mare. Existenţa celui mai mic punct limită se dovedeşte în mod asemănător.

Definiţia 1.3.3. Cel mai mic punct limită al unui şir se numeşte limita inferioară a şirului şi se notează cu limn→∞infnx sau limn→∞nx. Cel mai mare punct limită al şirului se numeşte limita superioară a şirului şi se notează cu suplimn→∞nx sau limn→∞nx.

Observaţia 1.3.2. Din Teorema 1.3.1 rezultă că orice şir de numere reale are limită superioară şi limită inferioară (deşi poate să nu aibă limită). Fie L =limsupnnx→∞ şi l =liminfnnx→∞. Limita superioară L, când este finită, este caracterizată de proprietăţile:

a) Pentru orice a < L există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca a.

b) Pentru orice b > L există un număr finit de termeni ai şirului mai mari ca b.

1. Şiruri şi serii de numere reale

25

În mod analog, limita inferioară l, când este finită, este caracterizată de proprietăţile:

a) Pentru orice a < l există un număr finit de termeni ai şirului mai mici ca a.

b) Pentru orice b > l există o infinitate de termeni ai şirului mai mici ca b.

Într-adevăr, să justificăm afirmaţia în cazul limitei superioare L. Din a) şi b) rezultă cã ∀ există o infinitate de termeni ai şirului în intervalul *n∈􀀀11,LLnn⎛−+⎜⎝⎠

⎞⎟

. Se poate construi prin inducţie un şir strict crescător de numere naturale {}nk astfel încât nkx∈11,LLnn⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠. Rezultă 2nkxLn−< şi deci nkxL→. Aşadar, L este punct limită al şirului. Din proprietatea b) rezultă cã L este cel mai mare punct limită al şirului.

Am făcut mai înainte observaţia că orice mulţime de numere reale este mărginită în 􀀀. În particular, orice şir de numere reale, este mărginit în 􀀀. Fie m ={}inf;nxn∈􀀀 şi M ={}sup;nxn∈􀀀. Următoarele inegalităţi sunt evidente:

. mlLM−∞≤≤≤≤≤+∞

Exemplu. Fie şirul ()()1112nnnxn−+−=+. Observăm că

1dacaesteimpar11dacaestepar.nnnxnn⎧−⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩((

Aşadar, şirul conţine două subşiruri convergente care au limitele 0, respectiv 1. Rezultă că l = 0 şi L = 1.

Subşirul 1n⎧−⎨⎩⎭

⎫⎬

este crescător, deci –1 este cel mai mic termen al său, iar subşirul 11n⎧+⎨⎩⎭

⎫⎬ l

=

este descrescător, deci cel mai mare termen al său este 2. Rezultă m = –1, M = 2.

Aşadar, avem: m = –1 < l = 0 < L = 1 < M = 2.

Propoziţia 1.3.2. Condiţia necesară şi suficientă ca un şir sã aibă limită (finită sau nu) este ca. limsupliminfnnLaa==

Aria şi volumul

  Metodă de calcul