1.1. Numere reale
În cele ce urmează vom nota cu mulţimea numerelor naturale, adică mulţimea
{}0,1,2,,,nKK şi cu {}*\0=
Pe mulţimea numerelor naturale sunt definite două operaţii: adunarea (notată cu +) şi înmulţirea (notată cu ⋅).
Deoarece elementele din nu sunt simetrizabile nici faţă de adunare, nici faţă de înmulţire, operaţiile de scădere şi împărţire nu sunt posibile în Ν. (Ν nu are structură de grup nici faţă de adunare, nici faţă de înmulţire). *
Pentru a face posibilă operaţia de scădere, la mulţimea numerelor naturale se adaugă mulţimea numerelor negative şi se obţine astfel mulţimea numerelor întregi
{},,,2,1,0,1,2,,,nn=−−−KKKK
(),,+⋅ este inel comutativ. Următoarea extensie a numerelor este mulţimea numerelor raţionale , adică mulţimea numerelor de forma pq, unde p, q ∈ , q ≠ 0, p şi q prime între ele. În sunt definite cele patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea (cu excepţia împărţirii la zero). Din punct de vedere algebric este corp comutativ. (,,+⋅ )
Încă din antichitate s-a observat că mulţimea numerelor raţionale nu este suficient de bogată pentru a servi la exprimarea măsurii oricărei mărimi din natură. Construcţii geometrice foarte simple se conduc la mărimi a căror măsură nu se poate exprima cu ajutorul numerelor raţionale. Cel mai simplu exemplu este diagonala unui pătrat de latură 1. Într-adevăr, conform teoremei lui Pitagora, pătratul lungimii acestei diagonale este 2 şi este binecunoscut faptul că nu există nici un număr raţional al cărui pătrat să fie egal cu 2. Este deci necesar să adăugăm la mulţimea numerelor raţionale şi numere de altă natură, pe care le numim numere iraţionale şi obţinem mulţimea numerelor reale ϒ.
Dacă primele extensii ale mulţimii numerelor naturale Ν şi anume şi , au fost determinate de necesităţi algebrice, extensia de la la ϒ este determinată de necesităţi topologice (de convergenţă). Mulţimea numerelor raţionale suferă de o anumită "incompletitudine", deoarece, în această mulţime există şiruri monotone şi
1. Şiruri şi serii de numere reale
11
mărginite care nu au limită (în ). Vezi de exemplu şirul 01a=; ; ; 11,4a=21,41a=31,414a=; … a cărui limită este 2∉. Prin crearea mulţimii numerelor reale se înlătură acest "defect".
În ϒ, orice şir monoton şi mărginit are o limită. Nu ne propunem să prezentăm aici construcţia numerelor reale. O să spunem numai că se poate construi o mulţime ϒ care conţine corpul numerelor raţionale , pe care sunt definite două operaţii, adunarea (notată cu +) şi înmulţirea (notată cu ⋅) şi o relaţie de ordine (notată ≤) astfel încât (),,,+⋅≤ este corp comutativ total ordonat, care satisface în plus următoarele proprietăţi:
(P.A.) (Axioma lui Arhimede)
Pentru orice x ∈ ϒ şi orice y ∈ ϒ, y > 0 există n ∈ Ν astfel încât ny ≥ x.
(PC) (Axioma lui Cantor)
Dacă {}na şi {}nb sunt două şiruri de numere raţionale care au următoarele proprietăţi:
1) 122nnaaabbb≤≤≤≤≤≤≤KKK 1
2) ()lim0nnnba→∞−=*)
atunci există c ∈ ϒ (unic) astfel încât nacbn ≤≤, ∀ n ∈ Ν.
Prin urmare, din punct de vedere algebric, ϒ este grup abelian faţă de adunare, având elementul neutru 0, iar ϒ \ {0} este grup abelian faţă de înmulţire, având elementul neutru 1. În plus are loc proprietatea de distributivitate:
. (),,,xyzxyxzxyz+=+∀∈
Relaţia de ordin "≤" este totală, adică pentru orice x, y ∈ ϒ avem sau x ≤ y sau y ≤ x şi compatibilă cu structura algebrică:
xy≤′ ′ şi xy≤′′′′ atunci xxyy+≤+′′′′′′
xy≤ şi α ≥ 0 atunci αx ≤ αy
Din faptul că ϒ este corp comutativ total ordonat rezultă toate regulile de calcul cu numere reale.
Observaţia 1.1.1. Axioma lui Arhimede este echivalentă cu următoarea proprietate:
∀ x ∈ ϒ, ∃ [x] ∈ astfel încât [x] ≤ x < [x] + 1
([x] se numeşte partea întreagă a lui x).
Într-adevăr, dacă x ∈ , atunci [x] = x. Dacã x ∈ ϒ \ şi x > 0, atunci considerând în axioma lui Arhimede y = 1, rezultă că există n ∈ Ν astfel încât x < n. Fie xn cel mai mic număr natural mai mare ca x şi fie [x] = xn – 1. Se verifică imediat că:
[x] ≤ x < [x] + 1.
*) ∀ ε > 0, ∃ astfel încât *nε∈nnba−<ε, ∀ nnε≥.
ANALIZĂ MATEMATICĂ
12
Dacă x ∈ ϒ \ , x < 0, atunci [x] = – [–x] – 1.
Reciproc, fie x ∈ şi y > 0. Dacă notăm cu n =+1xy⎡⎤+⎢⎥⎣⎦, atunci xnyyxy>=.
Propoziţia 1.1.1. Pentru orice x, y ∈ ϒ în situaţia x < y există r ∈ astfel încât
x < r < y.
Demonstraţie
Cazul 1: x = 0 < y. Deoarece 1n→ 0, există astfel încât *0n∈01n< y şi alegem r = 01n.
Cazul 2: 0 < x < y. Fie a =()102yx−> şi fie 1r∈ cu proprietatea . 10ra<<
Dacă notăm cu 111xrrr⎛⎞⎡⎤=⎜⎢⎥⎜⎣⎦⎝⎠
+ ⎟⎟
, atunci r ∈ şi avem
()()11111122xrrxrxyxxyyr⎛⎞≤+=+<+−=+<⎜⎟⎝⎠.
Pe de altă parte 11xrrxr>⋅=. Aşadar, r ∈ şi x < r < y.
Cazul 3: x < 0 < y. Alegem r = 0.
Cazul 4: x < y < 0. Atunci ∃ r∈ astfel încât –x > r> –y. Alegem r = –r.
Definiţia 1.1.1. O mulţime A se numeşte numărabilă dacă există o aplicaţie bijectivă :fA→. Dacă notăm cu ()nafn=, ∀ n ∈ Ν, rezultă că o mulţime este numărabilă dacă elementele sale pot fi puse sub forma unui şir
{}12,,,,nAaaa=KK
Se observă uşor că o reuniune finită de mulţimi numărabile este de asemenea o mulţime numărabilă.
Propoziţia 1.1.2. Mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.
Demonstraţie
Elementele mulţimii + pot fi puse sub forma următorului tablou:
1. Şiruri şi serii de numere reale
13
11
21
31
41
… 12
22
32
42
… 13
23
33
43
… 14
24
34
44
…
…………………………………………
Urmând săgeţile, se observă că elementele mulţimii + se pot pune sub forma unui şir
=+1211234,,,,,,,............1123211⎧⎨⎩⎭
⎫⎬
,
de unde rezultă cã este numărabilă. În mod analog +− este numărabilă. Cum {}0+−=UU rezultă că mulţimea numerelor raţionale este numărabilă.
Propoziţia 1.1.3. Mulţimea []{}0,1:01xx=∈≤≤ nu este numărabilă.
Demonstraţie
Presupunem prin absurd că mulţimea [0, 1] este numărabilă, deci că
[]{}120,1,,,,......nIxxx==K.
Împărţim intervalul I în trei intervale închise egale. Există cel puţin un subinterval (dintre acestea) care nu-l conţine pe 1x. Notăm cu acest interval. Împărţim acum intervalul în trei părţi egale. Există cel puţin un interval care nu-l conţine pe 1I1I2I2x. Procedând în continuare în acest mod obţinem un şir de intervale închise
⊃⊃ …⊃⊃ … cu proprietatea că 1I2InIn n xI∉.
Pe de altă parte observăm că lungimea intervalului este nI13n.
Dacă notăm cu , respectiv , extremităţile intervalului , obţinem două şiruri de numere raţionale nanbnI{}na, {}nb care îndeplinesc condiţiile din axioma lui Cantor. Rezultă că există y ∈ ϒ astfel încât 1nnyI I
∞=∈⊂I.
ANALIZĂ MATEMATICĂ
14
Pe de altă parte este evident că nyx≠ pentru orice n, deci y ∉ I. Am ajuns astfel la o contradicţie.
Corolarul 1. Pentru orice ,,abab∈< mulţimea [],ab={};xaxb=∈≤≤ nu este numărabilă.
Într-adevăr, mulţimile [],abşi []0,1 pot fi puse în corespondenţă bijectivă prin funcţia [][:0,1, ] fab→ definită astfel:
()()fxabax=+−
Corolarul 2. Pentru orice ,,abab∈< există cel puţin un număr iraţional z astfel încât a < z < b.
Demonstraţie
Mulţimea numerelor raţionale care aparţine intervalului ( este numărabilă, în timp ce mulţimea ) ,ab(),ab este nenumărabilă. Dacă ar fi numărabilă atunci [](,ab)
(){},,,ababab=∪ ar fi numărabilă, ceea ce este absurd. Rezultă că există (),\zab∈.
Din Propoziţia 1.1.1 şi 1.1.3 rezultă că între două numere reale se află o infinitate de numere raţionale şi o infinitate de numere iraţionale.
Propoziţia 1.1.4. Dacă {}{},nnxy sunt două şiruri de numere reale cu proprietăţile:
1) 122nn 1 xxxyy y ≤≤≤≤≤≤≤≤KKK;
2) ∞→nlim()0nnyx−=,
atunci există z ∈ ϒ (unic) astfel încât ,nnxzyn≤≤∀∈.
Demonstraţie
Din Propoziţia 1.1 rezultă că pentru orice n ∈ Ν există na∈ şi astfel încât nb∈
122nnnnnnnxaxyby−<<≤<<+ 1
n. (1.1)
Observăm că şirul {}na poate fi ales crescător, iar şirul {}nb poate fi ales descrescător. Într-adevăr, fie 12,aa∈ astfel încât
1112 1 xax−<< şi 22212 2 xax−<<.
1. Şiruri şi serii de numere reale
15
Dacă notăm cu ()21max,aa= 2 a 2 şi ţinem seama că 1xx≤, rezultă 22212 2 xax−<<. Evident . În continuare se poate arăta prin inducţie completă că şirul {2aa≥ 1
}na este crescător. Analog se poate arăta cã {}nb poate fi ales descrescător.
Deoarece ()1102nnnnnbayx−<−<−+, rezultă că ∞→nlim()0nnba−=. Din axioma Cantor rezultă că există z ∈ ϒ, unic, astfel încât nazbn ≤≤, ∀ n. Cum {}nx este crescător avem:
11,22nnknknknkxxazk++++−≤−≤≤∀∈ (1.2)
În continuare avem 1,2nnkxzk+−≤∀∈, de unde rezultă 0nxz−≤ şi deci ,nxz≤∀n. În mod asemănător se arată că ,nzyn≤∀.
Observaţia 1.1.2. O mulţime de numere reale A se numeşte majorată (minorată) dacã există b ∈ ϒ astfel încât ()xbxb≤≥, ∀ x ∈ A.
Numărul b se numeşte majorant (minorant). Este evident că dacă A admite un majorant (minorant) atunci admite o infinitate de majoranţi (minoranţi). O mulţime se numeşte mărginită dacă este majorată şi minorată.
Se numeşte marginea superioară (inferioară) a mulţimii A cel mai mic majorant (cel mai mare minorant) al mulţimii A.
Marginea superioară a mulţimii A se notează cu supA, iar marginea inferioară cu infA.
Teorema 1.1.1. Orice mulţime de numere reale majorată (minorată) are margine superioară (inferioară).
Demonstraţie
Vom demonstra existenţa marginii superioare. Dacă mulţimea A e finită, adică {}12,,,pAaaa=K, atunci evident {}12supmax,,,pAaaa=K.
Fie A majorată şi infinită şi fie a, b ∈ astfel încât b este majorant pentru A, iar a nu este majorant pentru A. Fie c mijlocul intervalului [a, b].
Dacă c este majorant pentru A, notăm cu []11,ab intervalul [],ac, iar dacă c nu este majorant pentru A notăm cu []11,ab intervalul [],cb. Fie mijlocul intervalului . Procedând ca mai înainte, notăm cu 2c[11,ab ] []22,ab intervalul
ANALIZĂ MATEMATICĂ
16
[]12,ac dacă este majorant pentru A, respectiv intervalul 2c[]21,cb, dacă nu este majorant pentru A şi aşa mai departe. 2c
Se obţin astfel două şiruri de numere raţionale {}na, {}nb cu următoarele proprietăţi:
1) 122nnaaabbb≤≤≤≤≤≤≤≤KKK 1
2) ∞→nlim()nnba−=∞→nlim02nba−=
3) pentru orice este majorant, iar nu este majorant al mulţimii A. *,nn∈ b na
Din axioma lui Cantor rezultă că există M∈ astfel, , ∀ n ∈ Ν. Observăm că M = supA. Într-adevăr, M este majorant pentru A, pentru că în caz contrar, există x ∈ A astfel încât M < x. Deoarece nnaMb≤≤∞→nlim()nnba−= 0, există cu proprietatea . *0n∈00nnbaxM−<−
În continuare avem ()00nnbxaM x <+−≤, ceea ce contrazice faptul că este majorant pentru A. Arătăm acum că M este cel mai mic majorant al mulţimii A. Să presupunem prin absurd că există M' < M, M' majorant pentru A. Fie astfel încât 0nb*1n∈11nnbaMM′−<−. Mai departe avem:
()11nnaMbMM′′>+−≥
de unde rezultă cã este majorant pentru A. Am ajuns astfel la o contradicţie. În concluzie, M este cel mai mic majorant al mulţimii A, deci marginea superioară a mulţimii A. Demonstraţia existenţei marginii inferioare este analogă. 1na
Observaţia 1.1.3. M ∈ ϒ este marginea superioară a mulţimii A dacă şi numai dacă
1) ,xMx≤∀∈A
2) 0,xAε∀ε>∃∈ astfel încât Mxε−ε<.
Într-adevăr, dacă M = supA, atunci M este majorant pentru A, de unde rezultă 1). Deoarece M este cel mai mic majorant al mulţimii A, rezultă că ∀ ε > 0, M – ε nu este majorant pentru A, deci ∃ . Fie acum M ∈ ϒ cu proprietăţile 1) şi 2). Din 1) rezultă cã M este majorant pentru A. Fie xMε>−ε
MM′< şi fie . Din 2) rezultă că există 0MM′ε=−>xAε∈ astfel încât xMMε′>−ε=. Prin urmare M' nu este majorant pentru A şi deci M = supA.
1. Şiruri şi serii de numere reale
17
1.2. Şiruri de numere reale (complemente)
Reamintim că un şir de numere reale {}na se numeşte convergent (are limită finită) dacă există l ∈ ϒ astfel încât ∀ ε > 0, ∃ un rang nε∈ astfel încât ∀ avem nnε≥nal−<ε .
Definiţia 1.2.1. Fie {}na un şir de numere reale şi 12nkkk<<<<KK un şir strict crescător de numere naturale. Şirul {}nka se numeşte subşir al şirului {}na. În particular şirul iniţial {}na poate fi privit ca un subşir al său (cazul ). nkn=
Dacă şirul {}na este convergent şi are limita l, atunci orice subşir al său este convergent şi are limita l. (Afirmaţia rezultă imediat din Observaţia ). nnk≤
Lema 1.2.1. (Cesàro). Orice şir mărginit de numere reale conţine un subşir convergent.
Demonstraţie
Fie {}nx un şir de numere reale mărginit. Atunci există ,ab∈ astfel încât , ∀ n ∈ Ν. Fie c mijlocul intervalului [a, b]. Cel puţin unul din intervalele [a, c], [c, b] conţine o infinitate de termeni ai şirului naxb<<{}nx.
Presupunem că [a, c] are această proprietate. Atunci notăm şi . Fie mijlocul intervalului [. Cel puţin unul din intervalele 1aa=1bc=1c ] 11,ab[]11,ac, [] conţine o infinitate de termeni ai şirului 11,cb{}nx. Să presupunem că are această proprietate. Atunci notăm [11,cb ]
21ac=,2bb1 = şi aşa mai departe. Se obţin astfel două şiruri de numere raţionale {}na, {}nb cu proprietăţile:
1) 122nnaaabbb≤≤≤≤≤≤≤≤KKK 1
2) ()limlim02nnnnnbaba→∞→∞−−==.
3) ∀ n ∈ Ν, intervalul [ conţine o infinitate de termeni ai şirului { ] ,nnab}nx.
Din axioma lui Cantor rezultă că există x ∈ ϒ astfel încât , ∀ n ∈ Ν. nnaxb≤≤
Alegem astfel încât *
1k∈[]111,kxab∈. Deoarece []22,ab conţine o infinitate de termeni ai şirului {}nx, există , astfel încât *
1 2k∈2kk>[]222,kxab∈.
Procedând în continuare în mod asemănător rezultă că există un şir strict crescător de numere naturale
ANALIZĂ MATEMATICĂ
18
12nkkk<<<<K K astfel încât [],nkn n xab∈ ∀ n ∈ Ν.
Deoarece 2nknnnbaxxba−−≤−= rezultă că {}nkx converge la x.
Definiţia 1.2.2. Un şir de numere reale {}nx se numeşte fundamental (Cauchy) dacă ∀ ε > 0, ∃ astfel încât ∀ *nε∈,mnnε≥ avem mnxx−<ε.
Notând cu p = m – n (dacă m > n), respectiv p = n – m (dacă m < n) obţinem următoarea definiţie echivalentă: {}nx este fundamental dacă ∀ ε > 0, ∃ astfel încât ∀ şi avem *nε∈nnε≥*p∀∈npnxx+−<ε.
Lema 1.2.2. Orice şir fundamental este mărginit.
Demonstraţie
Fie {}nx un şir fundamental. Pentru ε = 1 există astfel încât *1n∈
1npnxx+−<, 1nn∀≥, . *p∀∈
Pentru 1nn= rezultă
111npnxx+−<, , deci *p∀∈
, . 11111 xn − < xn + p < xn + ∀ p∈ *
Dacă notăm cu
{}1111min,,,1nnaxxx−=−K şi cu {}1111max,,,1nnbxxx−=+K
atunci , ∀ n ∈ Ν. naxb≤≤
Teorema 1.2.1. (Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy)
Condiţia necesară şi suficientă ca un şir de numere reale să fie convergent este să fie fundamental.
Demonstraţie
Necesitatea. Fie {}nx un şir convergent, având limita l ∈ ϒ. Pentru ∀ ε > 0, ∃ astfel încât *nε∈2nxlε−<, ∀ nnε≥. Dacă mnε≥, atunci 2mxlε−< şi mai departe ()()22mnmnmnxxxllxxlxlεε−=−+−≤−+−<+=ε. Aşadar, ∀ avem ,nmnε≥mnxx−< ε, deci {}nx este fundamental.
Suficienţa. Fie {}nx un şir fundamental. Pentru ∀ ε > 0, ∃ astfel încât ∀ *nε′∈,nmnε′≥ avem:
1. Şiruri şi serii de numere reale
19
2nmxxε−< (1.3)
Pe de altă parte, din Lema 1.2.2. rezultă că şirul {}nx este mărginit, iar din Lema 1.2.1, că admite un subşir nkx convergent. Fie limnknl→∞
x = şi fie astfel încât: *nε′′∈
2nkxlε−<, ∀ nnε′′≥. (1.4)
Dacă şi ()max,nnεε= ′ n′′ n n ε, atunci din (1.3) şi (1.4) rezultă: ≥ ε
22nnnnnnkknkkxlxxxlxxxlεε−=−+−≤−+−<+=ε.
Aşadar, nxl−<ε pentru orice nnε≥, deci {}nx este convergent şi are limita l.
Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy stabileşte că pentru şirurile de numere reale noţiunile de şir convergent şi şir fundamental sunt echivalente. Prin urmare, este suficient să verificăm pentru un şir că este fundamental (deci o condiţie mai slabă) ca să tragem concluzia că este convergent.
Exemplu: Să se studieze convergenţa şirului cu termenul general 2coscos2cos222nnxxa=+++K
nx (x ∈ ϒ oarecare fixat). Verificăm că şirul {}na este fundamental. Într-adevăr avem:
()()11cos1cos11222npnnnpnnxnpxaa++++++
2n+ p −=++≤++KK =
11111n
2
2 1 1 2
2
p
n+
−
= ⋅ <
−
p∈ * , .
Deoarece ∞→nlim102n=, rezultă că ∀ 0ε>, astfel încât *nε∈12npnnaa+−<<ε , ∀ nnε≥ şi ∀ . Aşadar, şirul *p∈{}na este fundamental şi deci convergent.
Datorită importanţei deosebite pentru analiza matematică a criteriului general de convergenţă al lui Cauchy, prezentăm în continuare o altă demonstraţie a sa, mai precis a implicaţiei: orice şir fundamental este convergent.
Fie {}nx un şir fundamental. Pentru Fie 12kε= există astfel încât *kn∈
ANALIZĂ MATEMATICĂ
20
12nmkxx−<, ∀ . (1.5) ,knmn≥
În particular avem:
12knnkxx−<, . (1.6) knn≥
Pentru 112k+ε= există *1kn+∈ astfel încât
112nmkxx+−<, ∀ 1,knmn+≥. (1.7)
Dacă alegem ()11max,kknnn++> k
n
, atunci
şi 1kkn+>112kknnkxx+−<.
Prin urmare dacă {}nx este fundamental, există un subşir al său {}knx cu proprietatea:
1122kkknnnkxxx+−<<+ 1
k , ∀ k ∈ Ν. (1.8)
Dacă notăm cu 112kknkax−=− şi 112kknkbx−=+ atunci şirurile {}ka şi {}kb satisfac condiţiile Propoziţiei 1.1.4. Într-adevăr, ţinând seama de (1.8) avem:
11111111022222kkkknnkkkkkaaxx++−−=−−+>−−+=
−1
111111111022222kkkknnkkkkkbbxx++−−−=−++<+−=
2102kkkba−−=→ pentru k → ∞.
Prin urmare, există x ∈ ϒ astfel încât
1122knkknkxaxbx−−=≤≤=+1
1
k k − , ∀ k ∈ Ν. (1.9)
Din (1.8) şi (1.9) rezultă
132knkxx+−<, ∀ k ∈ Ν. (1.10)
Aşadar, subşirul {}knx este convergent şi are limita x. Fie ε > 0 şi astfel încât *nε′∈
2knxxε−<, ∀ knε′≥. (1.11)
Fie astfel încât *nε′′∈
1. Şiruri şi serii de numere reale
21
2mnxxε−<, ∀ ,mnnε′′≥ (1.12)
Dacă notăm cu ()max,nnεεnε′′′=, atunci din (11) şi (12), pentru avem: nnε≥
22kknnnnxxxxxxεε−≤−+−<+=ε,
de unde rezultă că {}nx converge la x.
Teorema 1.2.2. Orice şir monoton şi mărginit este convergent.
Demonstraţie
Fie {}nx un şir monoton crescător şi mărginit. Deoarece mulţimea {};nxn∈ este majorată, din Teorema 1.1.1. rezultă că există {}sup;nMxn=∈. Din Observaţia 1.1.2. rezultă că nxM≤, ∀ n ∈ Ν şi ∀ ε > 0, ∃ nε∈ astfel încât nMxε−ε<. Deoarece şirul {}nx este monoton crescător, rezultă nnxxε≥, ∀ . nnε≥
Prin urmare, pentru orice nnε≥ avem:
, adică nMxMM−ε<≤≤+εnxM−<ε, (1.13)
de unde rezultă că {}nx este convergent şi are limita M.
Cel mai cunoscut exemplu de aplicaţie a Teoremei 1.2.2. este şirul 11nnan⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠. Se ştie din liceu că acest şir este monoton crescător şi mărginit (2, ∀ n ∈ Ν). Limita sa se notează cu e. Deci 3 na≤<1lim1nnen→∞⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠. Despre numărul e se poate arăta că este iraţional şi valoarea sa este aproximativ egală cu e ≈ 2,71828.
În continuare prezentăm o altă aplicaţie interesantă a Teoremei 1.1.1.
Exemplu. Fie şirul cu termenul general
111123nan=++++−K ln n.
Vom arăta că acest şir este monoton descrescător şi mărginit. Pentru aceasta folosim următoarea inegalitate cunoscută din liceu
()ln1xx+<, ∀ x > –1, x ≠ 0. (1.14)
Într-adevăr,
11ln11nnnaann+−=+++=1111ln10111nnnn⎛⎞
1
+−<−=⎜⎟++++⎝⎠, ∀. *n∈
Aşadar , ∀ . 1nna+<a 1n≥
ANALIZĂ MATEMATICĂ
22
Pe de altă parte, deoarece 11ln1nn⎛⎞>+⎜⎟⎝⎠ = 1lnnn+ , vom avea: 1111ln>
n 2 3 a n
n
= + + +K+ −
231lnlnlnln12nnn++++−=K
=()2341lnlnln1ln0123nnnnn+⋅⋅−=+−>K0na⇒>, ∀ n ≥ 1.
Rezultă că şirul {}na este convergent. Limita sa se notează cu C şi se numeşte constanta lui Euler şi este aproximativ egală cu 0,5772156.
Dacă notăm cu 1111l23nnCn⎛ε=++++−−⎜⎝⎠K n ⎞⎟
, atunci {}nε este un şir de numere pozitive, descrescător, cu lim0nn→∞ε=. Rezultă următoarea identitate:
1111ln23nnCn++++=++εK, (1.15)
care se dovedeşte utilă în aplicaţii şi va fi folosită mai departe.
1.3. Dreapta încheiată. Limitele extreme ale unui şir
Reamintim că prin dreapta încheiată se înţelege mulţimea {};=−∞∞U. Pe mulţimea se consideră relaţia de ordine obţinută prin prelungirea relaţiei de ordine de pe ϒ astfel:
, −∞<∞x−∞< şi x<∞, ∀ x ∈ϒ.
În felul acesta este o mulţime ordonată.
Dacă A ⊂ ϒ este o mulţime nevidă care nu este majorată, definim supA = = +∞. În mod analog, dacă A nu este minorată definim infA = –∞. Cu această convenţie, orice mulţime de numere reale este mărginită în . Operaţiile algebrice de pe ϒ se extind pe , fără însă să fie peste tot definite şi anume:
x∞+=∞, ∀ x∈, x ≠ –∞
x−∞+=−∞, ∀ x∈, x ≠ ∞
daca0daca0xxx∞>⎧∞=⎨−∞<⎩((, x∈.
Definiţia 1.3.1. Un şir de numere reale {}nx are limita ∞ (respectiv –∞) dacă ∀ ε ∈ ϒ, ∃ astfel încât (respectiv nε∈nx>εnx<ε), ∀ . nnε≥
Se folosesc notaţiile: limn→∞nx=∞ (respectiv limn→∞nx=−∞).
Propoziţia 1.3.1. Orice şir monoton de numere reale are limită în . Orice şir de numere reale conţine un subşir care are limită în .
1. Şiruri şi serii de numere reale
23
Demonstraţie
Fie {}nx un şir monoton crescător de numere reale. Dacă {}nx este mărginit superior, atunci {}nx este convergent, deci are limită finită. (Teorema 1.2.2.) Dacă {}nx nu este mărginit superior, atunci pentru ∀ ε ∈ ϒ, ∃ . Cum {nxε>ε}nx este crescător vom avea , ∀ nx>εnnε≥, deci limn→∞nx=+∞. Dacă {}nx este descrescător se procedează în mod analog.
Fie acum {}nx un şir de numere reale oarecare. Dacă {}nx este mărginit, atunci din Lema Cesàro rezultă că există un subşir {}knxconvergent. Să presupunem că {}nx nu este mărginit (de exemplu nu este mărginit superior). Vom arăta în acest caz că există un subşir care are limita +∞. Într-adevăr, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 1. Fie . De asemenea, există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca 2. Atunci putem alege astfel încât . Construim astfel prin inducţie un şir strict crescător de numere naturale {11kx>2kk> 1
22kx>}nk cu proprietatea nkxn>. Rezultă limn→∞nkx= ∞.
Definiţia 1.3.2. Fie {}nx un şir de numere reale şi a ∈ . Spunem că a este punct limită pentru şirul {}nx dacă există un subşir {}nkx astfel încât . limnknax→∞=
Observaţia 1.3.1. Dacă un şir are limită, atunci acest şir are un singur punct limită care coincide cu limita sa.
Exemple
1) Şirul are două puncte limită –1 şi 1. ()1nnx=−
2) Şirul are două puncte limită 0 şi ∞. ()1nnxn−=
3) Şirul nxn= are un singur punct limită ∞.
4) Şirul ()1nnxn−= are un singur punct limită 0.
Teorema 1.3.1. Pentru orice şir de numere reale {}nx există un cel mai mic punct limită (finit sau nu) şi un cel mai mare punct limită (finit sau nu).
Demonstraţie
ANALIZĂ MATEMATICĂ
24
Dacă {}nx nu este majorat, atunci din Propoziţia 1.3.1. rezultă că există un subşir care are limita +∞. Aşadar, +∞ este punct limită şi evident este cel mai mare.
Să presupunem acum că şirul {}nx este majorat şi să notăm cu A mulţimea punctelor sale limită finite. Dacă A este vidă, atunci din Lema Cesàro rezultă cã {}nx nu este mărginit inferior. În această situaţie –∞ este singurul punct limită şi deci şi cel mai mare. Să presupunem acum A ≠ φ. Cum {}nx este majorat, rezultă că şi A este majorată, deci există supA ∈ ϒ (Teorema 1.1.1.). Să observăm însă că α = supA ∈ A. Într-adevăr, din definiţia marginii superioare rezultă că ∀ există astfel încât *p∈pa∈A
1papα−<≤α.
Pe de altă parte, pentru există un subşir al şirului pa{}nx convergent la . Aşadar, pentru există pa1a1kx astfel încât 111kxa−<. Pentru există 2a2kx, astfel încât 2kk> 1 2212kxa−<.
Prin inducţie construim un şir de numere naturale 12nkkk<<<<KK cu proprietatea 1pkpxap−<. Din inegalitatea
112ppkkppxxaappp−α≤−+−α<+=
rezultă pkx→α. Aşadar, α = supA este punct limită al şirului {}nx şi evident, este cel mai mare. Existenţa celui mai mic punct limită se dovedeşte în mod asemănător.
Definiţia 1.3.3. Cel mai mic punct limită al unui şir se numeşte limita inferioară a şirului şi se notează cu limn→∞infnx sau limn→∞nx. Cel mai mare punct limită al şirului se numeşte limita superioară a şirului şi se notează cu suplimn→∞nx sau limn→∞nx.
Observaţia 1.3.2. Din Teorema 1.3.1 rezultă că orice şir de numere reale are limită superioară şi limită inferioară (deşi poate să nu aibă limită). Fie L =limsupnnx→∞ şi l =liminfnnx→∞. Limita superioară L, când este finită, este caracterizată de proprietăţile:
a) Pentru orice a < L există o infinitate de termeni ai şirului mai mari ca a.
b) Pentru orice b > L există un număr finit de termeni ai şirului mai mari ca b.
1. Şiruri şi serii de numere reale
25
În mod analog, limita inferioară l, când este finită, este caracterizată de proprietăţile:
a) Pentru orice a < l există un număr finit de termeni ai şirului mai mici ca a.
b) Pentru orice b > l există o infinitate de termeni ai şirului mai mici ca b.
Într-adevăr, să justificăm afirmaţia în cazul limitei superioare L. Din a) şi b) rezultă cã ∀ există o infinitate de termeni ai şirului în intervalul *n∈11,LLnn⎛−+⎜⎝⎠
⎞⎟
. Se poate construi prin inducţie un şir strict crescător de numere naturale {}nk astfel încât nkx∈11,LLnn⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠. Rezultă 2nkxLn−< şi deci nkxL→. Aşadar, L este punct limită al şirului. Din proprietatea b) rezultă cã L este cel mai mare punct limită al şirului.
Am făcut mai înainte observaţia că orice mulţime de numere reale este mărginită în . În particular, orice şir de numere reale, este mărginit în . Fie m ={}inf;nxn∈ şi M ={}sup;nxn∈. Următoarele inegalităţi sunt evidente:
. mlLM−∞≤≤≤≤≤+∞
Exemplu. Fie şirul ()()1112nnnxn−+−=+. Observăm că
1dacaesteimpar11dacaestepar.nnnxnn⎧−⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩((
Aşadar, şirul conţine două subşiruri convergente care au limitele 0, respectiv 1. Rezultă că l = 0 şi L = 1.
Subşirul 1n⎧−⎨⎩⎭
⎫⎬
este crescător, deci –1 este cel mai mic termen al său, iar subşirul 11n⎧+⎨⎩⎭
⎫⎬ l
=
este descrescător, deci cel mai mare termen al său este 2. Rezultă m = –1, M = 2.
Aşadar, avem: m = –1 < l = 0 < L = 1 < M = 2.
Propoziţia 1.3.2. Condiţia necesară şi suficientă ca un şir sã aibă limită (finită sau nu) este ca. limsupliminfnnLaa==
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu