Metode de rationament

Metode de rationament

I.     636i83g ;     636i83g ;     636i83g ;     636i83g ;    Metoda directa( modus poneus) - pornind de la o propozitie A si folosind principiul silogismului demonstram ca o alta propozitie este adevarata.

II.     636i83g ;     636i83g ;     636i83g ;     636i83g ; Metoda indirecta – reducerea la absurd ce se bazeaza pe echivalenta  (p®q) º (ùq®ùp)

III.     636i83g ;     636i83g ;     636i83g ;   Metoda inductiei

	Robot pe Marte   Ce să mai citim? Tatăl fondator al Uniunii Europene.             Colonizarea de pe Marte !   Ne pregătim pentru Marte Colonizarea Marte poate determina umanitatea să-și modifice ADN-ul ? Cine mai urăște să poarte mască?

Metoda inductiei

A. Egalitati

P(n):  1+2+3++n=n(n+1)/2             n³1

I. P(1):  1=1 (A)

II. P(n)  (A)ÞP(n+1) (A)

P(n+1):1+2+3+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2

            n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2

            (n+1)(n+2)/2=(n+1)(n+2)/2   (A)

I+IIÞ P(n) (A)    'n³1

Deci: 1+2+3+n = åk = n(n+1)/2 , n³1

P(n): 1² +2² +3² ++n²= n(n+1)(2n+1)/6       n³1

I. P(1):  1=1 (A)

II. P(n) (A) ÞP(n+1) (A)

P(n+1): 1² +2² +3² ++n²+(n+1)²=(n+1)(n+2)(2n+3)/6

             n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)² =( n+1)(n+2)(2n+3)/6

             (n+1)(n+2)(2n+3)/6=( n+1)(n+2)(2n+3)/6  (A)

I+IIÞP(n)  (A)         'n³1

12 +22 +32 + +n2 = åk2 = n(n+1)(2n+1)/6, n³1

1³+2³+3³++n³= [n(n+1)/2]²         n³1

I. P(1): 1=1 (A)

II. P(n) (A) ÞP(n+1) (A)

      

P(n+1):1³+2³+3³++n³+(n+1)³ = [(n+1)(n+2)/2]²

             [n(n+1)/2]² +(n+1)³= [(n+1)(n+2)/2]²

             [(n+1)(n+2)/2]² = [(n+1)(n+2)/2]²  (A)

I+IIÞP(n)  (A)         'n³1

13+23+33++n3=åk3 = [n(n+1)/2]2, n³1

½a1+a2+..+an½£½a1½+½a2½++½an½   n³2

Exemple de egalitati rezolvate prin inductie

ex 1: S=1×4+2×7+3×10++n(3n+1)

             =åk(3k+1) = å3k²+k = å3k²+åk = 3åk²+å

             = 3n(n+1)(2n+1) /6+n(n+2)/2

             = n(n+1)(2n+1)+n(n+2)/2

             = n(n+1)(2n+1+1)/2

             = n(n+1)²

ex 2:  p(n): 1×4+2×7+n(3n+1)=n(n+1)²  n³1

          I  P(1): 1C4=1(1+1)² Þ  4=4 (A)

          II  P(n) ÞP(n+1):1×4+2×7++n(3n+1)+(n+1)(3n+4)=(n+1)(n+2)²

              n(n+1)²+(n+1)(3n+4) = (n+1)(n+2)²

              (n+1)(n²+n+3n+4) = (n+1)(n+2)²

          I+IIÞP(n)  (A) 'n³1

ex 3: p(n): 1/(1×3)+1/(3×5)++1/[(2n-1)(2n+1)]=n/(2n+1)

         1/[(2k-1)(2k+1)]=1/2 [1/(2k-1)-1/(2k+1)] Þå1/[(2k-1)(2k+1)]=n/(2n+1)

          S₁=1/(1×3)=1/3

         S₂=S₁+1/(1×3)=2/5

         S₃=S₂+1/(5×7)=3/7

         I P(1): 1/3=1/(2×1+1)

         II P(k) ÞP(k+1)

          P(k+1): 1/(1×3)+1/(3×5)++ 1/[(2n-1)(2n+1)]+1/[(2n+1)(2n+3)]=(n+1)/(2n+3)

         n/(2n+1)+1/[(2n+1)(2n+3)]=(n+1)/(2n+3)

         [n(2n+3)+1]/[(2n+1)(2n+3)]=(n+1)/(2n+3)

         (2n²+3n+1)/[(2n+1)(2n+3)]= (n+1)/(2n+3)

         [(n+1)(2n+1)]/[(2n+3)(2n+1)]=(n+1)/(2n+3)  (A)

         I+IIÞP(n) (A) 'n³1        

 Exemple de inegalitati rezolvate prin inductie

ex 1: p(n): 2ⁿ>n² ; n³5

         I P(5): 2⁵>5²   Þ 32>25

          II P(n) Þ P(n+1): 2ⁿ⁺¹>(n+1)²½

          2ⁿ>n²   ½×2                              ½2ⁿ⁺¹ > 2n² > (n+1)²

          2ⁿ×2>2n²   Þ          2ⁿ⁺¹>2n²    ½

          Avem de dem ca 2n²>(n+1)²

          Þ 2n²>n²+2n+1 Þ n²-2n>1 ½+1

          Þn²-2n+1>2     Þ (n-1)²>2  'n³5

          n³5 Þ n-1³4  Þ (n-1)²³16>2      (A)

          I+IIÞP(n) adevarata 'n³5

ex 2: p(n):   1/(n+2)+1/(n+2)++1/(2n)>13/24         n³2

          I P(2): 1/3 +1/(2+2)>13/24 Þ7/12>13/24 Þ 14/24 >13/24 (A)

          II P(n+1): 1/(n+2)+1/(n+3)+..+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2)>13/24

                           >13/24-1/(n+1)+1/(2n+1)+1/(2n+2)

                            =13/24-1/(2n+2)+1/(2n+1)

                            = 13/24 +1/[2(n+1)(2n+1)] ½

                             1/[2(n+1)(2n+1)]>0           ½13/24 +1/[2(n+1)(2n+1)]>13/24

           I +IIÞP(n) adevarata       'n³2

ex 3: p(n): 1/(n+1)+1/(n+2)++1/(3n+1)>1      n³1 Þ  2n+1 termeni

          I P(1): 1/(1+1)+1/(1+2)+1/(1+3)>1 Þ 13/12>1 (A)

          II P(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)++1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)

                           >1-1/(n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)

                           = 1+ ceva/[3(n+1)(3n+2)(3n+4)]  >1½

                                 ceva>0 ; 3(n+1)(3n+2)(3n+4)>0 ½Þ (A)

            I+IIÞ P(n) adevarata     'n³1

Alte exemple rezolvate prin inductie

ex 1:   p(n): 10ⁿ+18n-28  : 27          n³0

           I P(0): -27 :27 (A)

           II P(n) (A) ÞP(n+1): 10ⁿ⁺¹+18(n+1)-28 :27

               10ⁿ+18n-28=27pÞ10ⁿ⁺¹+18n-10=27q

               10ⁿ= 27p -18n+28

               10ⁿ⁺¹+18n-10=10×10ⁿ+18n-10=10(27p -18n+28)+18n-10

                =10×27p-180n+280+18n-10

                =10×27p-162n+270=27(10p-6n+10)=27q

             I+IIÞP(n)  (A)            'n³0

ex 2:    daca n³10  atunci 2ⁿ>n³     n³1

            P(n): (1/2)×(3/4)×× (2n-1)/2n<1/(Ö2n+1)

            I P(1):1/2 <1/Ö3 Û  2>Ö3  (A)

            II P(n+1): 1/2×3/4×× (2n-1)/2n× (2n+1)/(2n+2)<1/(Ö2n+3)

                            <1/(Ö2n+1) × (2n+1)/(2n+2)< 1/(Ö2n+3)

             (Ö2n+1)/(2n+2)< 1/(Ö2n+3)

              Ö(2n+1)(2n+3)<2n+2

              4n²+8n+3<4n²+8n+4 Þ3<4     (A)

            I+IIÞP(n) (A) 'n³1

ex 3: P(n): 2ⁿ>n³    n³10

         I P(10): 2¹⁰>10³  Þ  1024>1000 (A)

         II P(n) (A) Þ P(n+1)

             P(n+1): 2ⁿ⁺¹>(n+1)³       ½

             2ⁿ>n³ ½×2  Þ2ⁿ⁺¹>2n³   ½2ⁿ⁺¹>2n³>(n+1)³

            Avem de dem 2n³>(n+1)³

            2n³-(n+1)³>0  Þ  (³Ö2)³n³-(n+1)³>0    Þ (n ³Ö2)³-(n+1)³>0

             Þ (n ³Ö2-n-1)[n ²Ö4+n ³Ö2(n+1)+(n+1)^2]>0

              n ²Ö4+n ³Ö2(n+1)+(n+1)² >0

              n ³Ö2-n-1 >0   ?

             Þ n(³Ö2-1)>1   n  ³10        ½

               ³Ö2>1,1   Þ   ³Ö2-1>0,1   ½ n(³Ö2-1)>1

       I+IIÞP(n)  (A) 'n³10

Formule clasa a VIII-a

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT

(a+b)²=a²+2ab+b²  ; (a-b)²=a²-2ab+b²  ;  a²-b²=(a+b)(a-b) ; (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³  ;       (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ ;

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)      ;       a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) ;

PROPRIETATILE PUTERILOR

aⁿ∙a^m=a^n+m  ;  aⁿ:a^m=a^{n -m}  ;  (aⁿ)^m=a^n∙m   ;   (a∙b)ⁿ=aⁿ∙bⁿ  ;  (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ  ;  a⁰=1   ;  0ⁿ=0  ; 1ⁿ=1

  

MODULUL

Definitie    :  |X|=X daca X≥0   si   |X|= -X daca X≤0 ; 

Proprietati : |X|≥0   ;    |a∙b|=|a|∙|b|    ;    |a+b|≤|a|+|b|   ;  

Exemple    : |-5|= -(-5)=5   ;   |7|=7   ;   |-2|= -(-2)=2   ;   |+4|=4   ;

FUNCTIA LINIARA   f :RàR , f(x)=ax+b                                                                                       

 P(x,y)G_f  daca si numai daca f(x)=y ;  

 A(x,y)G_f∩ox   daca   f(x)=y  si  y=0 ;

B(x,y)G_f∩oy   daca   f(x)=y  si  x=0 ;

Daca f si g sunt doua functii atunci Q(x,y)G_f∩G_g   daca   f(x)=g(x)=y ;

A(-b/a , 0)   si   B(0 , b)

  

MULTIMI DE NUMERE

Multimea numerelor naturale notata cu N :  0,1,2,3,4,…∞

Multimea numerelor intregi notata cu    Z :  -∞ … ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…+∞

Multimea numerelor rationale notata cu Q: exemple -3/4 ;5/2 ;-12/4 ;0,23 ;-5,(24) ;4,20(576) ;

Multimea numerelor reale notata cu R ; exemple :     -3/4 ;5/2 ;-1/4 ; ; -5,(24) ;   4,20(576) ; 0,202002000200… ;-5,2323323332333323… ;

Orice numar natural este numar intreg :    NZ.

Orice numar intreg este numar rational :   ZQ.

Orice numar rational este numar real :      QR.

Avem urmatoarele relatii de incluziune intre aceste multimi : NZQR.

Numerele reale care nu sunt numere rationale se numesc numere irationale.

  

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

Teorema catetei:     b²=a∙n     ;      c²=a∙m

Teorema inaltimii:    h²=m∙n    ;     

                                                            

Teorema lui Pitagora:   a²=b²+c²    ;       c²=h²+m²   si     b²=h²+n²

 Aria  tr. dreptunghic:             

BAC 2020. Profesorul de matematică Ovidiu Bădescu, de la Colegiul Național „Traian Lalescu” din Reșita, le spune elevilor de clasa a XII-a care miercuri dau  proba scrisă la matematică de la Bacalaureat 2020 să finalizeze orice exercițiu început pe foaia de examen. Ovidiu Bădescu arată că, în timp ce rezolva problemele din testele de antrenament pentru matematică, se gândea cum să-i ajute pe elevii săi astfel încât să „le pice fisa” în timpul examenului. Și atunci a găsit mai multe metode de rezolvăre la problemele de matematică astfel încât elevii să-și dezvolte gândirea și să se poată concentra mai bine în timpul examenului, pentru că de multe ori emoțiile și presiunea timpului le scade concentrarea.

Cele 10 recomandări ale lui Ovidiu Bădescu pentru elevii care dau Matematică la BAC 2020

1. Se porneşte cu problema pe care o ştim cel mai bine, se noteză relaţiile obţinute cu (1), (2), … şi atunci când le folosim să se scrie din care relaţii obţinem ceea ce vrem
2. Când pornim cu ipoteza, folosim ”: ştiu că….”. Când pornim cu concluzia scriem: „trebuie să arăt că…” şi folosim echivalența. Este indicat în acest caz să scriem la final: „deoarece am avut relaţii echivalente,din ipoteză  relaţia cerută ”
3. Orice exerciţiu să se finalizeze, adică la sfârşit să se scrie „aşadar, soluţia este…etc.”
4. Când ajungem la un subpunct pe care nu îl ştim, să ne amintim că de fapt noi dăm bacul şi că probabil are legătură cu celelalte. Atunci, scriem pe ciornă toate relaţiile anterioare şi încercăm să le combinăm. Uneori, nu e suficient nici acest lucru, atunci scriem ipoteza, relaţiile anterioare şi din fiecare astfel de relaţie încercăm să vedem ce obţinem. Chiar dacă nu vedem legătura, scriem tot ce obţinem şi poate, având în faţă atâtea relaţii, o să ne descurcăm.
5. Atunci când folosim o teoremă, este indicat să scriem teorema cu ipoteza şi concluzia corespunzătoare, şi apoi să verificăm că o putem aplica în cazul nostru. Adică, o aplicăm direct iar apoi redactarea să se prezinte sub forma : Deoarece teorema aplicată este :”………..”, iar funcţia noastră verifică aceste condiţii căci “…….”
6. Chiar dacă nu vedem cum arată rezolvarea, scriem formule sau relaţii care au legătură cu cea ce ni se dă sau cu ceea ce ni se cere, poate primim ceva punctaj şi pe acestea
7. Să nu ne ferim de cuvinte, să explicăm totul şi să fie o lucrare ordonată. Să încercăm să nu fie atâtea ştersături şi să nu fie o lucrare greu de urmărit.
8. Graficele de funcţii, figurile de geometrie, tabelele cu derivate să fie făcute cu liniarul. Dacă e cazul (vezi grafice şi figuri geometrice), să se respecte scara la care sunt făcute.
9. Pentru cei care corectează, nimic nu e evident şi nici un prof nu vă va da dreptate dacă veţi face un tabel şi de aici profu să deducă monotonie, imagine a funcţiei, puncte de extrem, etc. Scrieţi separat “din tabel funcţia f(x) este…”
10. Nimeni nu e obligat să reţină punctele anterioare şi chiar dacă aţi demonstrat ceva la un punct anterior, la punctul nostru se scrie „deoarece s-a demonstrat la punctul…că, rezultă că…”.

Citiți și: BAC 2020 Subiecte Matematică. Câte 20 de teste de antrenament pentru Mate-Info, Tehnologic, Științele Naturii și Pedagogic

Profesorul Ovidiu Bădescu spune că elevii săi sunt foarte buni la matematică, dar cu toate astea anumite probleme din testele de antrenament li s-au părut dificile, motiv pentru care a rezolvat problemele și le-a spus pe canalului de Youtube – MATE pentru TOȚI, astfel încât să le vadă cât mai mulți alți elevi cu aceleași întrebări.

„Iar la consultarea baremului, rezolvarea din barem li se părea, așa cum spun ei, „cu șmecherie”. Am încercat să mă pun în locul lor, și tind să le dau dreptate: anumite probleme cer o abordare nonstandard, dar e firesc să fie așa, pentru că matematica nu înseamnă doar aplicare de algoritmi, ci și dezvoltarea gândirii. Mă tot întrebam ce aș putea face să îi ajut, cum să îi fac să „le pice fisa” în timpul examenului? Și astfel, am încercat să abordez aceste probleme atât clasic, așa cum ar fi firesc să ne apucăm de ele, cu rezolvări uneori mai lungi dar mai la îndemână, cât și pe „șmecherie”, și s-au dovedit utile. M-am gândit că, asemeni elevilor mei, sunt și mulți alți elevi cu aceleași întrebări, astfel că le-am pus pe acest canal de youtube dovedind, sper eu, că matematica e frumoasă”, a spus Ovidiu Bădescu pentru StiriEdu.ro.

Pe canalul MATE PENTRU TOȚI sunt peste 20 de videouri cu rezolvarea problemelor care sunt dificile la prima vedere:   Vezi mai mult Aici

Formule Algebra

Media aritmetica Media geometrica (proportionala): Media aritmetica ponderata:  , unde a1, a2, ..., an reprezinta numerele, cu ponderile p1, p2, ..., pn. Puteri:                                                                                  proprietatile radicalilor >> Formule de calcul prescurtat: Ecuatia de gradul I:     O ecuatie de gradul I are forma: ax+b=0. Solutia acestei ecuatii este x=-b/a, cu a diferit de 0. Daca a=0 si b diferit de 0, solutia este multimea vida. Altfel, adica daca a=0 si b=0, solutia este intreaga multime de definitie. Ecuatia de gradul al II-lea:     Forma canonica a unei ecuatii de gradul al II-lea este: ax2+bx+c=0. Etapele rezolvarii acestei ecuatii sunt: Calcularea discriminantului: Evaluarea discriminantului: daca discriminantul este negativ, ecuatia nu are solutii reale; daca discriminantul este nul, ecuatia are o singura solutie (x1=x2); daca discriminantul este strict pozitiv, ecuatia are doua solutii, care se calculeaza dupa cum urmeaza: Calcularea solutiilor: Relaţii între  rădăcinile ecuaţiei  de gradul al doilea