Derivate partiale - Ecuatii

METODE NUMERICE

2.4.       SOLUTII IN DIFERENTE FINITE

           

            Multe probleme ale Teoriei elasticitatii conduc in formulare la ecuatii cu derivate partiale sau sisteme de astfel de ecuatii, a caror integrala generala nu poate fi obtinuta pe o cale analitica. Un astfel de exemplu, il constituie problema plana,probleme tratata in extenso in [   ].

            In locul exprimarii analitice a solutiilor, pentru scopurile practice ale inginerului, este suficient daca se pot determina valorile numerice ale marimilor ce caracterizeaza solicitarea intr-un numar de puncte ale domeniului studiat si ale limitei lui. Daca printr-un procedeu de calcul se precizeaza aceste valori in limitele unor erori acceptabile, aceste pot suplini solutia analitica a problemei studiate.

            Metoda diferentelor finite reprezinta un astfel de instrument. Ea consta principial, in inlocuirea ecuatiilor diferentiale ordinare sau cu derivate partiale exacte prin sisteme de ecuatii algebrice, a caror rezolvare furnizeaza valorile cautate din punctele unei retele, numite noduri. In scopul trecerii de la ecuatia diferentiala la sistemul de ecuatii elgebrice se utilizeaza formule aproximative ale derivatelor, exprimate prin diferente.

2.4.1.Operatori de derivare prin diferente finite

         ai functilor de o singura variabila

1. Ce să mai citim?

2. Povestea Lustragiului

3. Noile vaccinuri  

4. Nanotehnologia în evoluție

5. Primarul care nu frură

6. Duda a pus mâna pe Casa Regală

7. Nu poti multiplica bogatia divizand-o !  

Calculul pensiei militare  PENSII MILITARE DE STAT

           

Formulele de aproximare a derivatelor pot fi obtinute fie folosind parabole de interpolare, fie prin dezvoltari de serie Taylor, aproximate la un numar limitat de termeni. In cele ce urmeaza va fi prezentata dezvoltarea in serii Taylor.

Se considera functia continua cu o singura variabila , pentru care se cauta relatii de aproximare a derivatelor in punctul de abscisa  (fig.2.4.1).

Fig. 2.4.1

Se presupune ca s-a ales pe  o retea echidistanta cu pasul  si ca valorile functiei in punctul 0 si punctele vecine 1 si -1 sunt respectiv

,

,

.

Din dezvoltarea in serie Taylor:

se retin doar termenii pana la derivata de ordinul doi. Cu ajutorul acestei dezvoltari, valorile si  ale functie se scriu astfel:

;   .                                                   

            Notand inca  si , din dezvoltarea sistemului de ecuatii  in raport cu  si   se obtin:

,

                                                                (2.4.1.1)

adica relatiile de aproximare a primelor doua derivate.

            Pentru obtinerea formulelor pentru derivate de ordin superior, se poate, fie sa se utilizeze un numar mai mare de termeni din dezvoltarea in serie, de exemplu pana la derivata de ordin patru, fie sa se aplice succesiv operatorii de derivare prin diferente stabiliti anterior. Prima cale conduce la aproximari mai bune, dar scrierea ecuatiilor si impunerea c 525e46f onditiilor de margini, in probleme aplicative, este mai complicata. Folosind cea de a doua cale, se obtin pentru derivatele de ordin trei si patru relatiile:

care, dupa efectuarea calculelor si ordonarea termenilor, devin:

;

.                                         (2.4.1.2)     

            Operatorii de derivare prin diferente pot fi reprezentati prin "molecule" de operare. Pentru relatiile (2.4.1.1)(2.4.1.2), aceste molecule de calcul sunt redate in figura 2.4.2.

Fig. 2.4.2

Punctul in care se calculeaza derivata este reprezentat prin patrat sau dreptunghi, iar celelalte puncte prin cercuri sau elipse. In aceste locasuri sunt inscrisi coeficientii care inmultesc valorile functiei din punctul respectiv, in expresia operatorului.           

Vom exemplifica pe o problema limita simpla.     

Schematic, algoritmul utilizat in probleme cu mai multe dimensiuni contine aceleasi etape, adica:

-          transcrierea ecuatiilor cu derivate partiale in diferente finite;

-          impunerea conditiilor de contur;

-          rezolvarea sistemului de ecuatii algebric obtinut;

-          calculul valorilor in puncte ale marimilor care intereseaza in solutionare.

Fie grinda dublu incastrata din figura 2.4.3, cu  constant si incarcata cu forta  cu variatie arbitrara.

Fig.2.4.3

 Pentru determinarea axei deformate si a diagramelor de eforturi prin metoda diferentelor finite se porneste de la ecuatia diferentiala de ordinul patru a axei deformate*(fata de notatia w din Rezistenta Materialelor se noteaza cu v corespunzator axei y):                                                   

Se imparte domeniul  al grinzii in intervale egale de lungime  si se scrie apoi ecuatia in diferente finite, in cele -1 puncte din interiorul domeniului unde valorile deplasarii  sunt necunoscute. Ecuatia corespunzatoare punctului  se scrie, tinand seama de expresia operatorului(fig.2.4.2), astfel:

                    

unde  reprezinta valaorea incarcarii in dreptul sectiunii i, adica . Ecuatiile scrise pentru  alcatuiesc un sistem de  ecuatii. Se observa ca la scrierea ecuatiei in punctul 1 intervin si deplasarile punctelor 0 si -1 , respectiv pentru punctul 2, deplasarea ; prin urmare, cum la fiecare capat de bara apar doua necunoscute in plus, sistemul obtinut contine necunoscute. Impunand conditiile limita se obtin patru ecuatii suplimentare, cate doua pentru fiecare capat, care se exprima in diferente finite; de exemplu, pentru incastrarea din punctul 0, conditiile si  in diferente finite se scriu astfel:  si .

            Se obtine un sistem de  ecuatii cu tot atatea necunoscute, a carui rezolvare da valorile  cautate.

            Momentele incovoietoare si fortele taietoare se determina apoi pornind de la relatiile dintre aceste eforturi si sageata , care se transcriu in diferente finite:

;

.

1. Ce să mai citim?

2. Povestea Lustragiului

3. Noile vaccinuri  

4. Nanotehnologia în evoluție

5. Primarul care nu frură

6. Duda a pus mâna pe Casa Regală

7. Nu poti multiplica bogatia divizand-o !  

Calculul pensiei militare  PENSII MILITARE DE STAT

2.4.2.Operatori de derivare partiala in probleme cu doua dimensiuni

Fig.2.4.4

            Operatorii necesari in problemele bidimensionale se obtin pornind de la expresiile (2.4.1.1)(2.4.1.2),  ale derivatelor dupa o directie. Fie reteau din figura 2.4.4, ortogonala si echidistanta pe fiecare din axe, avand pasul  pe axa  si  pe axa .

Valorile functiei  din punctele retelei le vom atribui doi indici: primul corespunzator numerotarii pe , al doilea pe .

            Derivatele partiale intr+o singura variabila  pastreaza structura din moleculele reprezentate  in figura 22.25, in care  se inlocuieste cu . Pentru derivatele in, moleculele se transcriu pe verticala si se inlocuieste  cu . De exemplu "molecula" corespunzatoare derivatei partiale  este:

.

            Pentru operatorii de derivare micsti, se aplica succesiv operatorii unidimensionali; sa exemplificam acest lucru prin stabilirea operatorului .

Derivata partiala in raport cu , in punctul (0,0) este:

Fig.2.4.5

In figura 2.4.5 se deduc expresiile pentru alti operatori; moleculele de calcul ale celor care intervin mai des la problemele de Teoria elasticitatii .

2.4.3.Aplicarea metodei diferentelor finite in

         problema plana a teoriei elasticitatii

            Urmarind rezolvarea in tensiuni a problemei plane, pentru cunoasterea starii de solicitare intr-o saiba incarcata doar cu forte de contur, este necesar sa se determine o functie de tensiune F(x,z)care satisface ecuatia biarmonica:

                

si conditiile de margine. Pe baza interpretarii mecanice a functie  pe contur, cunoscand incarcarile se pot stabili cu usurinta valorile functiei si derivatele ei dupa normala exterioara in punctele de pe pe limita domeniului. In acest fel, problema impunerii conditiilor de margini se simplifica considerabil.

Sa presupunem ca trebuie determinata starea de tensiune pe saiba dreptunghiulara de dimensiuni , reprezentata in figura 2.4.6,a.

In acest scop,se imparte domeniul in intervale egale pe axa  si  intervale egale pe , cu pasul . Cunosctand incarcarile, se realizeaza o sectiune arbitrara in bara fictiva ce urmareste conturul si se traseaza diagramele de moment incovoietor si forta axiala. Se stie ca intr-u punct de pe contur, valoarea functiei de tensiune  este egala cu aceea a momentului incovoietor, iar a derivatei ei dupa normala exterioara cu forta axiala.Se scrie ecuatia biarmonica in diferente finite in punctele unde valoarea functiei  este necunoscuta, adica in toate nodurile interioare ale retelei.

Fig.2.4.6

            Cu moleculele de calcul stabilite in paragrafele anterioare pentru ecuatia biarmonica rezulta molecula din figura 2.4.7, obtinuta prin sumarea operatorilor de derivare partiala conform relatiei, adica:

Operatorul ,;;factor

Fig.2.4.7a

In "molecula" din figura 2.4.7 s-a notat cu , raportul dintre dimensiunile pasilor retelei pe cele doua directii.

Operatorul ,;factor :

Fig.2.4.7 b

            In ecuatiile scrise pentru nodurile de langa margini (de exemplu, 1,1; 1,n; M-1,n) intervin atat valori ale funciei din noduri situate in interiorul domeniului, cat si din punctele de pe limita domeniului si punctele exterioare, vecine conturului.Deci, sistemul contine mai multe necunoscute, decat numarul ecuatiilor scrise in punctele interioare.

In fiecare punct de contur pot fi inscrise insa inca doua ecuatii, rezultate din conditiile limita. Astfel, notand cu  si  valoarea functiei si a derivatei dupa normala exterioara, in punctul  conditia in  este imediata, iar din conditia in  se obtine:.

Se obtin astfel ecuatiile suplimentare necesare. Data fiin d forma simpla a ecuatiilor rezultate din conditiile de contur, este indicat a se tine seama de ele direct, cand se scrie sistemul de ecuatii, ceea ce este echivalen cu eliminarea din sistem anecunoscutelor suplimentare. In acest fel, sistemul rezulta cu un numar de necunoscute mai redus.

Dupa rezolvarea sistemului de ecuatii si cunoasterea valorii functiei in nodurile de retelei, tensiunile se calculeaza cu relatiile (1.9.7) transcrise in diferente finite cu ajutorul operatorilor de derivare stabiliti.

2.4.4.Folosirea simetriei pentru reducerea numarului de necunoscute

            Precizia obtinuta prin metoda diferentelor finite creste cu cat reteaua este mai densa. Sporirea densitatii retelei atrage insa dupa sine neajunsul ca introduce un numar de necunoscute mai mare. In scopul reducerii numarului de necunoscute este indicat sa se tina seama de simetria sau antisimetrie problemei ce urmeaza a fi rezolvata. Cand saiba si incarcarile prezinta simetrie (antisimetrie) in raport cu o axa, starea de solicitare si, in particular, functia de tensiune F este la randul ei simetrica (antisimetrica). Pentru a putea folosi proprietatile de simetrie semnalate, este necesar ca pozitia taieturii in bara fictiva sa fie astfel aleasa incat proprietatiile de simetrie sa se conserve si in diagramele  M si N trasate pe bara fictiva.

            De exemplu, saiba din figura 2.4.8, a prezinta simetrie atat pe axa y, cat si pe axa x, deci este suficient sa se cunoasca doar valorile functiei de pe un sfert din domeniu. Alegand pozitia taieturii ca in figura 2.4.8, b, se observa ca in diagrama M, si in consecinta si in functie de tensiune F  pe domeniu, se mentine doar simetria pe axa x. In schimb, cu pozitia taieturi ca in figura 2.4.8, c, rezulta o diagramaM simetrica pe ambele axe si deci (fig. 2.4.8, a) . Aceleasi concluzii se desprind si cu privire la diagrama .

                       a.                                     b                                        c

Fig.2.4.8

Pentru o saiba dreptunghiulara cu incarcari simetrice, atat pe laturile paralele cu x,cat si pe acelea paralele cu y (fig.2.4.9, a), functia de tensiune este de asemenea, simetrica pe ambele axe. Se observa insa ca, in orice sectiune a conturului s-ar face taietura, diagrama M din incarcarile q si P rezulta cel mult simetrica pe una din axe. Se poate face uz de urmatorul artificiu. Se presupune ca saiba este incarcata, mai intai, doar cu forta qpentru care, cu taietura pe axa y , se obtine o diagrama M simetrica pe ambele axe (fig. 2.4.9, b). Presupunem apoi doar incarcarea P, cu taietura pe axa x se obtine tot o diagrama simetrica pe ambele axe (fig. 2.4.9, c). Cum starea de tensiune din incarcarile q si P actionand simultan se poate obtine prin suprapunere de efecte, aceeasi regula se aplica si functia pe contur. Insumand diagramele din figura 2.4.9,  b si c, se obtine diagrama F, simetrica pe ambele axe.           

                        a                                       b                                         c

Fig.2.4.9

2.4.5.Aplicatii la calculul placilor plane utilizana metoda diferentelor finite.

            Principiul acestei metode se bazeaza ca si la problemele plane de elasticitate pe inlocuirea mediului continuu format din materialul elementului prin mediu discontinuu, inmagazinat in punctele unei retele dispuse in planul median al lamelei.

            Problema revine la integrarea ecuatiei fundamentale a placii  prin puncte si la determinarea sagetiilor  in fiecare punct al retelei. Avand sagetiile  in fiecare punct se pot calcula eforturile rezultate  in fiecare punct al retelei prin intermediul rapoarteler de diferente finite.

            Ca forme de retele se pot utiliza, ca si in cazul problemelor plane: retele dreptunghiulare, retele tringhiulare sau retele polare in functie de forma si de dimensiunile conturului suprafetei mediane.

            Cea mai des utilizata este reteaua dreptunghiulara.

            Indiferent de forma retelei, problema importanta care se pune este determinarea in diferente finite a expresiei ecuatiei fundamentale a placii.

            Transformarea se poate efectua in doua moduri, dupa numarul de puncte pe care se extinde ecuatia fundamentala a placii si anume:

-          cand ecuatia fundamentala scrisa in diferente finite se extinde pe 13 puncte,

-          cand ecuatia fundamentala scrisa in diferente finite se extinde pe 5 puncte.

Aceasta depinde de relatia

,                                                                                     (2.4.5.1)

care exprima suma momentelor incovoietoare rezultante impartita la .

            Daca se cunosc conditiile de margine pentru  M, calculul se poate simplifica in asa fel incat ecuatia fundamentala sa se extinda numai pe cinci puncte.

Daca nu se cunosc conditiile de margine pentru  M, calculul se efectueaza extinzand ecuatia fundamentala pe 13 puncte.

Astfel, pentru reteaua dreptunghiulara

(2.4.5.2)

unde:

Pentru reteaua patrata

                     (2.4.5.3)

unde  

            Se prezinta cazul cand ecuatia fundamentala se extinde numai pe cinci puncte, deci cand se cunoaste valoarea relatiei M pe conturul placii,

            Expresia M (2.4.5.1) se poate scrie dezvoltat

                                                                      (2.4.5.4)

                                                                               (2.4.5.4')

            Daca se introduce relatia (2.4.5.4') in ecuatia fundamentala a placii se obtine

sau :                                                                         (2.4.5.5)

sau:                                                                                    (2.4.5.5')

            In acest fel, ecuatia fundamentala a placii a fost transformata in 2 ecuatii cu derivate partiale de ordin 2; ecuatia (2.4.5.4') si ecuatia (2.4.5.5).

Daca se lucreaza simultan cu cele doua ecuatii, calculul este mult mai simplu decat daca se lucreaza cu ecuatia cu derivate partiale de ordin patru.

Daca se utilizeaza acelasi principiu de trecere al derivatelor partiale in diferente finite, ca si la problemele plane si reteaua cu notatiile din fig.2.4.10, cele doua ecuatii in care s-a transformat ecuatia fundamentala a placii primesc in diferente finite forma (2.4.5.8) si (2.4.5.9).

                                    Fig.2.4.10

Astfel:

                                  (2.4.5.6)

                                        (2.4.5.7)

            Daca se inlocuiesc (2.4.5.6) si (2.4.5.7) in (2.4.5.4) se obtine forma in diferente finite a ecuatiei (2.4.5.4)

                               (2.4.5.8)

sau

,                          (2.4.5.8')

unde:  

Daca reteaua este patrata ;  si relatia (2.4.5.8) primeste forma (2.4.5.8")

                                                     (2.4.5.8")

Relatia (2.4.5.8) reprezinta forma transformata in diferente finite a relatiei (2.4.5.4). Daca in aceasta relatie se cunosc momentele M_kin toate punctele retelei, rezulta sagetile in fiecare din punctele acestei retele.

In mod analog relatiei (2.4.5.4), se poate transforma in diferente finite si relatia (2.4.5.5) si se obtine

             (2.4.5.9)

iar pentru reteaua patrata

                                  (2.4.5.9')

Relatiile (2.4.5.8) si (2.4.5.9) reprezinta cele doua componenete ale ecuatie fundamentale a placii transpuse in diferente finite. Prin rezolvarea simultana a acestor doua ecuatii se obtin sagetile in toate punctele retelei.

Rezolvarea incepe cu relatia (2.4.5.9), deoarece incarcarea p_k concentrata in toate punctele retelei este o marime cunoscuta. In acest scop, se aplica relatia (2.4.5.9) in toate punctele retelei si rezulta un sistem de ecuatii algebrice din rezolvarea carora se obtin marimile M_k in toate punctele retelei. Aceste marimi se introduc in sistemul de ecuatii obtinut prin aplicarea relatiei (2.4.5.8) in toate punctele. Din rezolvarea acestui sistem se obtin necunoscutele problemei: sagetile in toate punctele retelei.

Dupa determinarea sagetilor in toate punctele retelei se pot calcula eforturile rezultante in toate aceste puncte prin transcrierea relatiilor cu derivate partiale  in relatii cu diferente finite si inlocuirea in aceste relatii a sagetilor. Momentele incovoietoare se calculeaza cu relatiile

  (2.4.5.10)

  (2.4.5.11)

            Momentele de rasucire se calculeaza cu relatia

                                                    (2.4.5.12)

sau :                               (2.4.5.12')

            Fortele taietoare se calculeaza cu relatiile

     

                           (2.4.5.13)

                                (2.4.5.14)

Cunoscand eforturile rezultante calculate cu relatiile (2.4.5.10).( 2.4.5.14) in punctele retelei, se pot calcula tensiunile in aceste puncte cu relatiile (2.4.5.1).( 2.4.5.8).

Observatie: In ecuatiile sistemelor care rezulta prin aplicarea relatiilor in toate punctele retelei intervin si valori M si v in puncte de pe contur si in puncte situate in afara conturului placii. Aceste valori se calculeaza din conditiile la limita.

Aceste conditii sunt diferite, in functie de modul de rezemare al placii.

Pentru reazemul articulat sau simplu rezemat (fig. 2.4.11) pe contur se cunoaste ca atat sagetile, cat si laplasianul sagetilor sunt nule de-a lungul marimii.

                                                                                                   (2.4.5.15)

                                                                                   (2.4.5.16)

Din conditia (2.4.5.16) rezulta valoarea sagetilor in punctele situate in afara conturului placii. Astfel, daca se rescrie relatia (2.4.5.16) si daca se inlocuieste in acesta conditia (2.4.5.15) se obtine

   (2.4.5.16')

Daca in (2.4.5.16') se inlocuieste v_k = v_l = v_i = 0, rezulata valoare sagetii in punctul din afara conturului :                                                         (2.4.5.17)

Fig.2.4.11

Daca se lucreaza cu ecuatia extinsa numai pe 5 puncte, atunci se scrie pe marginea articulata si conditia in M in punctele de pe contur, care sunt nule.

   (v.rel.2.4.5.9)

si rezulta conditia :                                             (2.4.5.18)

Pentru reazemul incastrat   fig.2.4.12   se stie ca atat sageata cat si panta sunt nule.

                                                                                       (2.4.5.19)

                                                                                     (2.4.5.20)

			vm=0     vm-1=vm+1 vl =0      vl-1= vl+1 vk =0     vk-1= vk+1 vi=0       vi-1=vi+1 vj=0       vj-1= vj+1

Fig.2.4.12

Daca se transforma conditia a doua sub forma de diferente finite, rezulta valorile sagetilor in punctele din afara conturului (2.4.5.20').

cum ,

si deci conditia                                                                        (2.4.5.20')

2.4.6.Aplicatie.Placa articulata pe contur si incarcata cu sarcina uniform distribuita.

           

            Se considera o retea de forma patrata cu dimensiunile  si .(v.fig.2.4.13)

            Pentru simplitatea calcului, care are numai caracter principal, se alege o retea foarte simpla, care din motive de dubla simetrie prezinta numai doua puncte interioare distincte: 1 si 2.

                                                Fig.2.4.13

            Se noteaza si punctele de pe contur si punctele din exteriorul conturului si rezulta reteaua din 12 puncte dintre care 4 in interior, 4 pe contur si 6 in exteriorul placii (fig.2.4.14). Figura 2.4.14 prezinta modul de notare a punctelor de pe conturul placii (3,...,6) si a celor din afara conturului placii (7, 8, ..., 12).

 Se scrie relatia (2.4.5.9') in cele patru puncte interioare ale retelei placii:

            

In punctul 1 se obtine

                                                     (2.4.6.1)

In punctul 2

                                                     (2.4.6.2)

           

           

                                                                                               

           

                                                Fig.2.4.14

            In ecuatiile (2.4.6.1) si (2.4.6.2) intervin, in afara de necunoscutele M in punctele din interior, si valori M in punctele de pe contur. Avand in vedere insa conditia pe reazemul articulat si  in problema data, rezulta

                                                                   (2.4.6.3)

            Inlocuind (2.4.6.3) in (2.4.6.1) si (2.4.6.2) rezulta sistemul (2.4.6.4) de doua ecuatii cu doua necunoscute si .

                                                                             (2.4.6.4)

            Din rezolvarea sistemului (2.4.6.4) rezulta valorile necunoscutelor M in cele doua puncte interioare ale retelei.

            Cu valorile obtinute se pot calcula sagetiile in cele doua puncte. In acest scop se aplica ecuatia (2.4.5.8') in punctele interioare ale retelei

            ,

si se obtine sistemul (2.4.6.5)

                                          (2.4.6.5)

            In acest sistem, in afara de necunoscutele sagetii in punctele interioare ale retelei  si , intervin si valorile in punctele de pe conturul placii. Acestea se determina din conditia de limita (2.4.5.15) scrisa pe marginea articulata, adica

                                                                             (2.4.6.6)

            Introducand (2.4.6.6) in sistemul (2.4.6.5) rezulta un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute

                                                                                      (2.4.6.7)

            Din rezolvarea sistemului (2.4.6.7) rezulta necunoscutele problemei: sagetiile in toate punctele retelei cu care se pot determina toate eforturile rezultante.

            Momentul incovoietor rezultant  se calculeaza aplicand relatia (2.4.5.10) in cele doua puncte ale retelei

            ,(2.4.6.8)

            .                                    (2.4.6.9)

            Momentul  se calculeaza apliaand relatia (2.4.5.11) in cele doua puncte ale retelei

                 (2.4.6.10)

                                                  (2.4.6.11)

            Momentele de rasucire se calculeaza aplicand relatia (2.4.5.12)

            

                        ,                                               (2.4.6.12)

                                                       (2.4.6.13)

            In punctul 2 momentul de rasucire a rezultat egal cu zero (2.4.6.13), deoarece punctul se gaseste in axa de simetrie a placii si se stie ca intotdeauna in axa de simetrie momentul de rasucire este nul.

            In afara de valorile in punctele 1 si 2, trebuie calculate momentele de rasucire in puntele de pe conturul placii, deoarece in aceste puncte se obtin valorile maxime

                                                            (2.4.6.14)

            Punctul 3 se gaseste in axa de simetrie, deci valoarea lui este nula in acest punct.

            ,         

                                                                                      (2.4.6.15)

                                               (2.4.6.16)

`                                           (2.4.6.17)

            Forta taietoare  se calculeaza cu relatia (2.4.5.13)

                                          (2.4.6.18)

                                                                             (2.4.6.19)

                                                                           (2.4.6.20)

            Din (2.4.6.19) si (2.4.6.20) rezulta ca in punctele situate pe axa de simetrie a placii forta taietoare are valoarea zero

                                                                                    (2.4.6.21)

                                      (2.4.6.22)

            Valoarea lui in punctul 12 se calculeaza din conditia (2.4.5.14)

            

            Forta taietoare se calculeaza cu relatia (2.4.5.15)

                                            (2.4.6.23)

                                                                (2.4.6.24)

                       (2.4.6.25)

            

                           (2.4.6.26)

            

            Cu valorile eforturilor rezultante se pot  trasa diagramele de eforturi m_x , m_z , m_xz , t_x , t_z , calculate cu metoda diferentelor finite pentru placa articulata pe contur, incarcata cu incarcare uniform distribuita pe toata suprafata,trasarea se face in suprafata mediana a placii (fig. 2.4.15).

           

Fig.2.4.15

Observatii. 1. Este cunoscut faptul ca in lungul unei margini se pot scrie doua conditii de eforturi. In marginile unei placi insa se gasesc trei eforturi rezultante: forta taietoare, un moment incovoietor si un moment de rasucire; de exemplu, pe marginea din directia razei  apare forta taietoare si momentul de rasucire .In figura. 2.4.16. se arata inlocuirea pe marginea placii a efectului momentului de rasucire m_xz  si a fortei taietoare inlocuitoare t_z :2.4.16a) cele trei eforturi m_x , m_xz , si t_x care apar pe marginea placii;2.4.16b) cele doua eforturi (m_x si t_x ) dupa inlocuirea lui m_xz si t_x  cu .

Fig. 2.4.16

            Rezulta ca in acest fel nu exista control asupra celui de-al treilea efort rezultant din reazem. Din acest motiv se introduce notiunea de efort rezultant inlocuitor. Astfel, pentru marginea in discutie se introduce notiunea de forta taietoare inlocuitoare.

            Forta taietoare inlocuitoare insumeaza efectul celor doua eforturi rezultante provenit din tensiunile tangentiale si anume  si (fig. 2.4.16 b).  Pentru a gasi relatia de calcul a fortei taietoare inlocuitoare , se considera pe marginea respectiva la un nou nivel curent  doua elemente de dimensiuni infinit mici. Se reprezinta momentul de rasucire   care se inlocuieste prin intermediul unui cuplu de doua forte verticale  (fig.2.4.17a).

           

           

         Inlocuirea momentului de rasucire  prin inter mediul unui cuplu de doua forte verticale:

     a) momentul de rasucire din sectiuna curenta z;

                                                                          Fig.2.4.17 a)

    

      Inlocuirea momentului de rasucire  prin inter mediul unui cuplu de doua forte verticale:

   b) momentul de rasucire din sectiunea curenta z impreuna cu cele  doua momente din sectiu nile vecine situate la distanta infinit mica dz

                              

                                                                                                                                                            Fig.2.4.17 b)

            Daca in lungul marginii de pe directia  momentul de rasucire se considera ca are o variatie crescatoare in sensul lui pozitiv, atunci in cele doua sectiuni la distanta infinit mica  vor aparea momentele

 la stanga sectiunii  si  la dreapta sectiunii  (fig.2.4.17b).

            In mod asemanator si momentele se rasucire  si   se inlocuiesc prin intermediul a cate unui cuplu.

            In acest fel in fiecare sectiune apar doua forte rezultante dupa directia axei  si orientate in sens invers. Daca se cumuleaza intr-o sectiune oarecare efectul acestor doua forte cu forta taietoare rezultanta  se obtine forta taietoare rezultanta inlocuitoare, astfel :

            Se reduc termenii si se obtine:                              (2.4.6.27)

            In mod identic se poate obtine si forta taietoare inlocuitoare de-a lungul marginii de pe directia axei :                                                             (2.4.6.28)

            In cazul metodei diferentelor finite, expresiile fortelor taietoare inlocuitoare (2.4.6.27) si (2.4.6.28) devin

              

                 (2.4.6.29)

            Daca in relatia (2.4.6.29) se tine cont de faptul ca punctele k in care se calculeaza forta taietoare inlocuitoare se gasesc intotdeauna pe conturul placii, ceea ce inseamna: expresia fortei taietoare inlocuitoare  devine:                                (2.4.6.30)

            In mod similar se determina expresia (2.4.6.31) in diferente finite a fortei taietoare inlocuitoare 

                                                    (2.4.6.31)

            Aplicand relatiile (2.4.6.30), respectiv (2.4.6.31) in fiecare punct de control de pe contur se obtin fortele taietoare inlocuitoare in fiecare punct al relatiei situate pe marginile placii.

            2. In cazul placilor simplu rezemate sau articulate pe contur, exista o tendinta de ridicare a colturilor placii din planul suprafetei. Aceasta se manifesta prin aparitia unei reactiuni de colt care tinde sa pastreze pozitia colturilor placii in planul suprafetei ei mediane. Reactiunea din fiecare colt al placii se calculeaza din unicul efort rezultant diferit de zero in colturile placilor simplu rezemate sau articulate pe contur. Astfel, in coltul placii se inlocuieste momentul de rasucire rezultant de pe cele doua fete prin doua cupluri, care in conventie pozitiva au directiile din fig. 2.4.18. Reactiunea de colt R se obtine prin insumarea celor doua cupluri :.

            Tinand cont insa ca  reactiunea de colt R  se va calcula cu relatia :.  (2.4.6.32)                                  Fig.2.4.18

            3.  Totalitatea fortelor taietoare inlocuitoare de pe tot conturul placii, reactiunile de colt si totalitatea fortelor care actioneaza asupra placii trebuie sa se echilibreze.

            Aceasta conditie constituie o verificare a calculului eforturilor rezultante in placile plane, similara cu verificarea echilibrului pe verticala la barele incovoiate.

            Ea se exprima matematic cu relatia :  (2.4.6.33)