Ecuatii -Relatiile lui Viete.

Ecuatii de gradul al II-lea. Relatiile lui Viete. 

In mod traditional, acest capitol facea parte din programa clasei a VIII-a. Incepand cu anul scolar 1993-1994, a fost trecut la clasa a IX-a. Actualizarea corespunzatoare a manualelor s-a produs abia in 1999. 

Continutul acestui capitol este urmatorul: 
Formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al doilea. Rezolvarea unor cazuri particulare; 
Discutia naturii si semnelor radacinilor ecuatiei de gradul al II-lea cu coeficienti reali; 
Relatiile lui Viete si cateva aplicatii: descompunerea trinomului de gradul al II-lea in factori etc. 

Nu prezentam aici formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al II-lea si nici relatiile lui Viete. Vom analiza insa cateva exercitii de mai multe tipuri. Deocamdata, vom discuta numai despre rezolvarea ecuatiei de gradul al II-lea in multimea numerelor reale. 

. Sa se arate ca cel putin una dintre ecuatiile: 
are radacinile reale. 

Solutie. Sa presupunem prin absurd ca ambele ecuatii nu au radacini reale. Inseamna ca discriminantii ambelor ecuatii sunt negativi: 

. Utilizand relatia specificata in ipoteza si cele doua inegalitati, deducem ca: 
, absurd. Rezulta ca, cel putin una din ecuatii are radacini reale. 
Ex. 2. Sa se rezolve in R ecuatiile: 
Solutie. a) Se observa ca, notand: 

1. Ce să mai citim?

2. Povestea Lustragiului

3. Noile vaccinuri  

4. Nanotehnologia în evoluție

5. Primarul care nu frură

6. Duda a pus mâna pe Casa Regală

7. Nu poti multiplica bogatia divizand-o !  

Calculul pensiei militare  PENSII MILITARE DE STAT
. 
Trebuie acum sa rezolvam ecuatiile: 
. 
Multimea solutiilor reale ale ecuatiei date este deci: 

b) Inmultind cele doua trinoame de gradul al II-lea, obtinem o ecuatie de gradul al IV-lea relativ greu de rezolvat. Ideea este sa descompunem trinoamele in factori, grupand diferit factorii liniari rezultati. In general, daca avem o ecuatie de gradul al IV-lea de forma: 

, aceasta se reduce la rezolvarea a trei ecuatii de gradul al II-lea. 
se scrie: 
si obtinem rezolventa de gradul al II-lea: 
. 
. Avem deci: 
si se obtine rezolventa: 
. 
Raman de rezolvat ecuatiile de gradul al II-lea: 
Multimea solutiilor reale ale ecuatiei date este deci: 
sunt numere intregi impare, sa sa arate ca: 
admite radacini intregi. 
in ecuatie si eliminand numitorii, gasim: 
Avem urmatoarele posibilitati: 
este impar. Suma celor trei este un numar impar, deci nu poate fi zero. 
. Caz similar cu cel precedent. 
sunt impare. Suma lor este un numar impar, deci nu poate fi zero. 
). Rezulta ca ecuatia data nu admite radacini rationale. 
Observatie. Rezultatul ramane valabil pentru orice ecuatie algebrica de grad par cu coeficientii numere intregi impare. 
. 
. Sa sa arate ca radacinile ecuatiei: 
sunt reale. Sa se deduca de aici inegalitatea: 
. 
membrul stang al ecuatiei date. Se observa ca: 
, ceea ce demonstreaza ca radacinile ecuatiei date sunt reale. 
Desfacem ecuatia sub forma: 
si scriem conditia: 
: 
). 
Folosim relatiile: 
Avem: 
. Sa se calculeze: 

Solutie. Se observa ca radacinile ecuatiei date nu sunt reale. Determinarea lor (ca numere complexe) urmata de introducerea in expresie ar conduce la calcule greu de finalizat. Ideea de rezolvare este: 

. Rezulta: 
(relatiile Viete). 
Rezulta: 
, ecuatia are radacini de semn contrar ?
intre radacinile ecuatiei. Cu ajutorul acesteia, sa se determine valorile radacinilor egale. 
Rezulta sistemul: 
b) Conform relatiilor lui Viete, avem: 
. Pentru aceasta, scriem: 
in relatie. Rezulta: 
pentru care ecuatia are radacini egale, nu ne obosim sa le determinam. 

Observatie. Multe exercitii cer discutia naturii si semnelor radacinilor ecuatiilor de gradul al doilea (bineinteles, fara a rezolva ecuatiile). Nu vom include in acest material exercitii de acest tip, dar prezentam tabelul care le faciliteaza rezolvarea. 

- orice orice
. 
. 
verifica relatiile: 
si sistemul de relatii date se scrie: 
b) Conform exercitiului 5, avem: 
Relatia data devine: 
astfel incat ecuatiile
sa admita o radacina comuna. 
astfel incat ecuatiile: 
si
sa fie echivalente (adica sa admita aceleasi radacini). 
Solutie. a) Cand se cere ca doua ecuatii de gradul al II-lea sa admita o singura radacina comuna, se procedeaza astfel: 
si se scrie ca verifica ambele ecuatii; 
; 
intr-una dintre ecuatii pentru a determina parametrul implicat. 
In cazul nostru, avem: 
. Se inlocuieste aceasta valoare in prima ecuatie: 
. Este recomandat sa efectuati verificarea prin rezolvarea efectiva a celor doua ecuatii. 
b) Altfel stau lucrurile cu cazul ecuatiilor echivalente. Pentru ca doua ecuatii: 
sa fie echivalente, coeficientii lor trebuie sa fie proportionali: 
. 
In cazul nostru, rezulta: 
Avem deci: 
, rezulta ca
ce verifica proprietatea din enunt: 
, nicaieri nefiind specificat ca ecuatiile trebuie sa aiba radacinile reale si identice. 
sunt respectiv discriminantul ecuatiei, suma si produsul radacinilor. 
Solutie. Scriem sistemul relatiilor Viete si expresia discriminantului: 
. Se pot calcula cu usurinta radacinile: 
care ar fi condus la o ecuatie degenerata. 
Exercitii propuse. 
Sa se rezolve in R ecuatiile: 
Discutie. 
sa aiba toate radacinile reale. 
Sa se arate ca daca ecuatiile
. 
pentru care ecuatia are ambele radacini intregi si poziti...